Question

20．已知△ABC中，O是三角形內(nèi)一點(diǎn)，滿足∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO，求證：BC²=AC•AB．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=$\frac{1}{2}∠$BAC，得到OA=OC，設(shè)∠BAC=α，∠ABC=β，∠ACB=γ，由正弦定理得$\frac{OA}{sin（β-\frac{1}{2}α）}$=$\frac{BO}{sin\frac{1}{2}α}$，$\frac{CO}{sin\frac{1}{2}α}$=$\frac{BO}{sin（γ-\frac{1}{2}α）}$，兩式相比得到sin²$\frac{1}{2}α$=sin（$β-\frac{1}{2}α$）•sin（γ-$\frac{1}{2}α$），化簡后即可得到結(jié)論．

解答 解：∵∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=$\frac{1}{2}∠$BAC，
∴OA=OC，
設(shè)∠BAC=α，∠ABC=β，∠ACB=γ，
在△ABO和△BCO中，由正弦定理得$\frac{OA}{sin（β-\frac{1}{2}α）}$=$\frac{BO}{sin\frac{1}{2}α}$，$\frac{CO}{sin\frac{1}{2}α}$=$\frac{BO}{sin（γ-\frac{1}{2}α）}$，
∵AO=CO，
∴兩式相比得：sin²$\frac{1}{2}α$=sin（$β-\frac{1}{2}α$）•sin（γ-$\frac{1}{2}α$），
∴1-cosα=cos（β-γ）-cos（β+γ-α），1+cos（β+γ-α）=cos（β-γ）+cosα．
∵β+γ-α=180°-2α，
∴2sin²α=2sinβsinγ，
∴BC²=AC•AB．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的內(nèi)角和，正弦定理，三角函數(shù)，正確掌握正弦定理是解題的關(guān)鍵．