Question

18．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)O是對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，且DE=2CE，連接BE．過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為點(diǎn)F，連接OF．求：
（1）CF的長(zhǎng)；
（2）OF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）在BE上截取BG=CF，連接OG，證明△OBG≌△OCF，則OG=OF，∠BOG=∠COF，利用勾股定理可得BE的長(zhǎng)，由射影定理得BF的長(zhǎng)，易得EF的長(zhǎng)，求得CF；
（2）由（1）得出等腰直角三角形GOF，在RT△BCE中，根據(jù)射影定理求得GF的長(zhǎng)，即可求得OF的長(zhǎng)．

解答 解：（1）如圖，在BE上截取BG=CF，連接OG，
∵RT△BCE中，CF⊥BE，
∴∠EBC=∠ECF，
∵∠OBC=∠OCD=45°，
∴∠OBG=∠OCF，
在△OBG與△OCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠OBG=∠OCF}\\{BG=CF}\end{array}\right.$，
∴△OBG≌△OCF（SAS），
∴OG=OF，∠BOG=∠COF，
∴OG⊥OF，
在RT△BCE中，BC=DC=6，DE=2EC，
∴EC=2，
∴BE=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵BC²=BF•BE，
則6²=BF•2$\sqrt{10}$解得：BF=$\frac{9\sqrt{10}}{5}$，
∴EF=BE-BF=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∵CF²=BF•EF，
∴CF=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$；

（2）由（1）知，
GF=BF-BG=BF-CF=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
在等腰直角△OGF中
OF²=$\frac{1}{2}$GF²，
∴OF=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的應(yīng)用，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)建全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．