Question

6．已知?OABC的頂點(diǎn)A、C分別在直線x=2和x=4上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=2分別與x軸和OC邊交于D、E，直線x=4分別與x軸和AB邊的交于點(diǎn)F、G．
（1）如圖，在點(diǎn)A、C移動的過程中，若點(diǎn)B在x軸上，
①直線 AC是否會經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，若是，請直接寫出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若否，請說明理由．
②?OABC是否可以形成矩形？如果可以，請求出矩形OABC的面積；若否，請說明理由．
③四邊形AECG是否可以形成菱形？如果可以，請求出菱形AECG的面積；若否，請說明理由．
（2）在點(diǎn)A、C移動的過程中，若點(diǎn)B不在x軸上，且當(dāng)?OABC為正方形時(shí)，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）①是，經(jīng)過定點(diǎn)（3，0）．如圖1中，連接AC交OB于K，只要證明OD=FB=2，推出OB=6，即可解決問題．
②當(dāng)∠OCB=90°時(shí)，四邊形OABC是矩形，由（1）可知△DOA≌△FBC，推出OD=BF=2，由△CFO∽△BFC，可得$\frac{CF}{BF}$=$\frac{OF}{CF}$，由此即可解決問題．
③可以．如圖3中，易知當(dāng)OE=EC=AE時(shí)，四邊形AECG是菱形．由（1）可知，△DOA≌△FBC，推出AD=CF，易知DE=$\frac{1}{2}$CF，設(shè)DE=x，則AD=CF=2x，OE=AE=3x，
在Rt△ADE中，根據(jù)OE²=OD²+DE²，列出方程即可解決問題．
（2）如圖4中，當(dāng)四邊形OABC是正方形時(shí)，易證△DOA≌△FCO，推出OD=CF=2，推出點(diǎn)C坐標(biāo)（4，2），根據(jù)對稱性C′（4，-2）時(shí)，也滿足條件．

解答 解：（1）①是，經(jīng)過定點(diǎn)（3，0）．理由如下：
如圖1中，連接AC交OB于K．

∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴OK=KB，BC∥OA，BC=OA，
∴∠CBF=∠AOD，
在△DOA和△FBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ODA=∠CFB=90°}\\{∠AOD=∠CBF}\\{OA=BC}\end{array}\right.$，
∴△DOA≌△FBC，
∴OD=FB=2，
∴OB=6，
∵OK=KB，
∴OK=3，
∴K（3，0），
∴直線AC經(jīng)過定點(diǎn)K（3，0）．

②可以．利用如下：

當(dāng)∠OCB=90°時(shí)，四邊形OABC是矩形，
由（1）可知△DOA≌△FBC，
∴OD=BF=2，
∵∠OCF+∠FCB=90°，∠FCB+∠CBF=90°，
∴∠OCF=∠CBF，
∵∠CFO=∠CFB，
∴△CFO∽△BFC，
∴$\frac{CF}{BF}$=$\frac{OF}{CF}$，
∴$\frac{CF}{2}$=$\frac{4}{CF}$，
∴CF=2$\sqrt{2}$，
∴S_矩形OABC=2•S_△OBC=2×$\frac{1}{2}$×$6×2\sqrt{2}$=12$\sqrt{2}$．

③可以．理由如下：
如圖3中，易知當(dāng)OE=EC=AE時(shí)，四邊形AECG是菱形．

由（1）可知，△DOA≌△FBC，
∴AD=CF，
∵DE=$\frac{1}{2}$CF，設(shè)DE=x，則AD=CF=2x，OE=AE=3x，
在Rt△ADE中，∵OE²=OD²+DE²，
∴9x²=x²+4，
∴x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴S_菱形AECG=AE•DF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$×2=3$\sqrt{2}$．

（2）如圖4中，

當(dāng)四邊形OABC是正方形時(shí)，易證△DOA≌△FCO，
∴OD=CF=2，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（4，2），
根據(jù)對稱性C′（4，-2）時(shí)，也滿足條件．
綜上所述，點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，2）或（4，-2）．

點(diǎn)評 本題考查四邊形綜合題、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會用關(guān)鍵方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．