Question

16．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D、E分別在AC、BC上，且CD•BC=AC•CE，以E為圓心，DE長(zhǎng)為半徑作圓，⊙E經(jīng)過點(diǎn)B，與AB、BC分別交于點(diǎn)F、G．
（1）求證：AC是⊙E的切線．
（2）若AF=4，CG=5，
①求⊙E的半徑；
②若Rt△ABC的內(nèi)切圓圓心為I，則IE=$\sqrt{130}$．

Answer 1

分析 （1）證明△CDE∽△CAB，得∠EDC=∠A=90°，所以AC是⊙E的切線；
（2）①如圖1，作輔助線，構(gòu)建矩形AHED，設(shè)⊙E的半徑為r，表示BH和EC的長(zhǎng)，證明△BHE∽△EDC，
列比例式代入r可得結(jié)論；
②如圖2，作輔助線，構(gòu)建直角△IME，分別求IM和ME的值，利用勾股定理可求IE的長(zhǎng)．

解答 證明：（1）∵CD•BC=AC•CE，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{CE}{CB}$，
∵∠DCE=∠ACB，
∴△CDE∽△CAB，
∴∠EDC=∠A=90°，
∴ED⊥AC，
∵點(diǎn)D在⊙E上，
∴AC是⊙E的切線；

（2）①如圖1，過E作EH⊥AB于H，
∴BH=FH，
∵∠A=∠AHE=∠ADE=90°，
∴四邊形AHED是矩形，
∴ED=AH，ED∥AB，
∴∠B=∠DEC，
設(shè)⊙E的半徑為r，則EB=ED=EG=r，
∴BH=FH=AH-AF=DE-AF=r-4，
EC=EG+CG=r+5，
在△BHE和△EDC中，
∵∠B=∠DEC，∠BHE=∠EDC=90°，
∴△BHE∽△EDC，
∴$\frac{BH}{ED}=\frac{BE}{EC}$，即$\frac{r-4}{r}=\frac{r}{r+5}$，
∴r=20，
∴⊙E的半徑為20；

②如圖2，過I作IM⊥BC于M，過I作IH⊥AB于H，
由①得：FH=BH=r-4=20-4=16，AB=AF+2BH=4+2×16=36，
BC=2r+5=2×20+5=45，
∴AC=$\sqrt{4{5}^{2}-3{6}^{2}}$=27，
∵I是Rt△ABC的內(nèi)心，
∴IM=$\frac{AB+AC-BC}{2}$=$\frac{36+27-45}{2}$=9，
∴AH=IM=9，
∴BH=BM=36-9=27，
∴EM=27-20=7，
在Rt△IME中，由勾股定理得：IE=$\sqrt{I{M}^{2}+E{M}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{130}$，
故答案為：$\sqrt{130}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定、圓的切線的性質(zhì)和判定、直角三角形內(nèi)切圓的半徑、切線長(zhǎng)定理等知識(shí)，最后一問有難度，作輔助線，構(gòu)建直角△IEM是關(guān)鍵，掌握直角三角形內(nèi)切圓半徑r=$\frac{a+b-c}{2}$（a、b是直角三角形的兩直角邊，c為斜邊）．