Question

12．如圖所示，正方形OABC的兩邊OA，OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)D（5，3）在邊AB上，以點(diǎn)C為中心，把△CDB旋轉(zhuǎn)90°．
（1）旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（-2，0）或（2，10）；
（2）求線段DD′的長；
（3）求線段CD在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分順時針旋轉(zhuǎn)和逆時針旋轉(zhuǎn)兩種情況，求出點(diǎn)D′到x軸、y軸的距離，即可判斷出旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D′的坐標(biāo)是多少即可；
（2）根據(jù)勾股定理計算可得；
（3）根據(jù)扇形面積計算公式計算可得．

解答 解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)D（5，3）在邊AB上，
所以AB=BC=5，BD=5-3=2；
①若把△CDB順時針旋轉(zhuǎn)90°，
則點(diǎn)D′在x軸上，OD′=2，
所以D′（-2，0）；
②若把△CDB逆時針旋轉(zhuǎn)90°，
則點(diǎn)D′到x軸的距離為10，到y(tǒng)軸的距離為2，
所以D′（2，10），
綜上，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（-2，0）或（2，10）．
故答案為：（-2，0）或（2，10）．

（2）∵CD=CD′=$\sqrt{C{B}^{2}+D{B}^{2}}$=$\sqrt{29}$，且∠DCD′=90°
DD′=$\sqrt{C{D}^{2}+CD{′}^{2}}$=$\sqrt{58}$；

（3）線段CD在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積$\frac{90°•π•（\sqrt{58}）^{2}}{360}$=$\frac{29}{2}$π．

點(diǎn)評 本題主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、扇形面積的計算，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．