Question

15．已知△ABP的一邊AB=$\sqrt{10}$．
（1）在如圖（1）所示的4×4方格中畫出格點(diǎn)△ABP，使三角形三邊為$\sqrt{5}$、$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$．
（2）如圖（2）所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，若點(diǎn)P為線段CD上動(dòng)點(diǎn)．
①則AD=2BC=1；
②設(shè)DP=a，請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示AP，BP，則AP=$\sqrt{4+{a}^{2}}$，BP=$\sqrt{1+（3-a）^{2}}$．
③當(dāng)a=1時(shí)，求PA+PB的值．
④PA+PB是否存在一個(gè)最小值？如果存在，請(qǐng)求出它的最小值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)要求畫出△PAB即可；
（2）①關(guān)系圖象即可解決問題．
②利用勾股定理計(jì)算即可；
③a=1代入②中代數(shù)式計(jì)算即可；
④存在．作B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，交CD于P′，此時(shí)P′A+P′B最小，利用勾股定理計(jì)算即可；

解答 解：（1）△PAB如圖所示．

（2）①由圖象可知AD=2，BC=1，
故答案為2，1．
②在Rt△ADP中，AP=$\sqrt{{2}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{4+{a}^{2}}$，
在Rt△PBC中，PB=$\sqrt{1+（3-a）^{2}}$，
故答案為$\sqrt{4+{a}^{2}}$，$\sqrt{1+（3-a）^{2}}$．
③a=1時(shí)，PA+PB=$\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$．
④存在．作B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，交CD于P′，此時(shí)P′A+P′B最小，
最小值=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)、勾股定理、軸對(duì)稱變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用對(duì)稱解決最值問題，屬于中考�？碱}型．