Question

18．如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別為AB，AC上的點(diǎn)，BE與CD相交于點(diǎn)F，BF=4EF=4，CE=AD．則S_△AEB=5$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合CE=AD，即可得出△ACD≌△CBE（SAS），進(jìn)而得出∠ACD=CBE，結(jié)合∠CEF=BEC，可得出△AEF∽△BEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合BF=4EF=4，即可求出CE的長度，過點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，EN⊥AB于點(diǎn)N，通過解直角三角形可求出BC的長度，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出S_△AEB的值，此題得解．

解答 解：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠BCE=60°，AC=CB，
在△ACD和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}\\{∠A=∠BCE}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠ACD=CBE．
又∵∠CEF=BEC，
∴△AEF∽△BEC，
∴$\frac{EF}{EC}=\frac{EC}{EB}$，
∵BF=4EF=4，
∴EC=$\sqrt{5}$．
過點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，EN⊥AB于點(diǎn)N，如圖所示．
在Rt△AEM中，CE=$\sqrt{5}$，∠ECM=60°，
∴CM=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，EM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CE=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．
在Rt△BME中，BE=5，EM=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴BM=$\sqrt{B{E}^{2}-E{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{85}}{2}$．
∴BC=AB=AC=$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{85}}{2}$，AE=AC-CE=$\frac{\sqrt{85}-\sqrt{5}}{2}$，
∴S_△AEB=$\frac{1}{2}$AB•EN=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{85}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{85}-\sqrt{5}}{2}$=5$\sqrt{3}$．
故答案為：5$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形，利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合解直角三角形，求出AB和AE的長度是解題的關(guān)鍵．