Question

18．如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為CD，AD上的點，點B′、C′分別為邊BC、AB上的點，B′E⊥CF于P，連接AP、BP，∠APB=90°．
（1）求證：∠FB′C′=90°．
（2）用尺規(guī)圖法作出正方形ABCD邊上的所有Q點，使∠FQC′=90°．

Answer 1

分析 （1）先依據(jù)同角的余角相等可證明∠FPA=∠BPB′，然后依據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°可證明∠PFA=∠PB′B，從而可得到∠FAP=∠PBB′，然后可證明∠PAB+∠PBA=90°；
（2）由∠FQC=90°，可知符合條件的點Q在以FC′為直徑的圓上，故此可知點Q為以FC′為直徑的圓與正方形的交點．

解答 解：（1）連結(jié)FB′、C′B′．

∵∠FPA+∠APB′=90°，∠APB′+∠B′PB=90°，
∴∠FPA=∠B′PB．
∵∠FPB′=90°，∠FAB′=90°，
∴∠PFA+∠PB′A=90°．
∴∠PFA=∠PB′B．
∴∠PAF=∠PBB′．
∵∠FAP+∠PAB′=90°，
∴∠PAB′+∠PBB′=90°．
∴∠APB=90°．
（2）如圖所示：以FC′為直徑作⊙O，點Q的位置如圖所示．

點評 本題考查了作圖-復雜作圖，正方形的性質(zhì)，解答本題主要應用了圓周角定理、正方形的性質(zhì)，利用圓周角定理確定出點Q的坐標是解題的關(guān)鍵．