Question

10．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點D運動，點Q從點C同時出發(fā)，以3cm/s的速度沿射線CB運動，當點P運動到點D時停止運動，設(shè)運動時間為t秒．
（1）當t為多少時，以A、B、Q、P為頂點的四邊形成為平行四邊形？
（2）四邊形PBQD是否能成為菱形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由，并探究如何改變Q點的速度（勻速運動），使四邊形PBQD在某一時刻為菱形，求點Q的速度．

Answer 1

分析 （1）因為∠B=90°，AP∥BQ，由矩形的判定可知當AP=BQ時，四邊形ABQP成為矩形；
（2）因為PD∥BQ，當PD=BQ=BP時，四邊形PBQD能成為菱形，先由PD=BQ求出運動時間t的值，再代入求BP，發(fā)現(xiàn)BP≠PD，判斷此時四邊形PBQD不能成為菱形；設(shè)Q點的速度改變?yōu)関cm/s時，四邊形PBQD在時刻t為菱形，根據(jù)PD=BQ=BP列出關(guān)于v、t的方程組，解方程組即可求出點Q的速度．

解答 解：（1）∵∠B=90°，AP∥BQ，
∴當AP=BQ時，四邊形ABQP成為矩形，
此時有t=22-3t，解得t=$\frac{11}{2}$．
∴當t=$\frac{11}{2}$s時，四邊形ABQP成為矩形；


（2）四邊形PBQD不能成為菱形．理由如下：
∵PD∥BQ，
∴當PD=BQ=BP時，四邊形PBQD能成為菱形．
由PD=BQ，得16-t=22-3t，解得t=3，
當t=3時，PD=BQ=13，BP=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{73}$≠13，
∴四邊形PBQD不能成為菱形；
如果Q點的速度改變?yōu)関cm/s時，能夠使四邊形PBQD在時刻ts為菱形，
由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{16-t=22-vt}\\{16-t=\sqrt{{8}^{2}+{t}^{2}}}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{t=6}\\{v=2}\end{array}\right.$．
故點Q的速度為2cm/s時，能夠使四邊形PBQD在某一時刻為菱形．

點評 本題借助動點主要考查了矩形、菱形的判定，勾股定理，等腰梯形的判定與性質(zhì)，以及方程和方程組在幾何圖形中的應(yīng)用，難度適中，用含t的代數(shù)式正確表示出相關(guān)線段的長度是解題的關(guān)鍵．