Question

3．如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，AE是∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)E，以AC上一點(diǎn)O為圓心作圓，使⊙O經(jīng)過A，E兩點(diǎn)，⊙O交AC于點(diǎn)F，
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若AB=3，∠BAC=60°，試求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OE，由角平分線的性質(zhì)得到∠BAE=∠CAE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAE=∠AEO，等量代換得到∠BAE=∠AEO，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OEC=90°，于是得到結(jié)論；
（2）解直角三角形得到OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CE=2，根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OE，
∵AE是∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)E，
∴∠BAE=∠CAE，
∵OA=OE，
∴∠CAE=∠AEO，
∴∠BAE=∠AEO，
∴AB∥OE，
∵在矩形ABCD中，∠B=90°，
∴∠OEC=90°，
∴BC是⊙O的切線；

（2）解：∵∠BAC=60°，
∴∠EOC=60°，
∵AB=3，
∴BE=$\sqrt{3}$，
∴AE=2$\sqrt{3}$，
∵∠EAC=∠ACE=30°，
∴CE=AE=2$\sqrt{3}$，
∴OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CE=2，
∴S_陰影=S_△OEC-S_扇形=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{60•π×{2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．