Question

7．如圖，在邊長為6的正方形ABCD的外側作等邊△ADE，連接BE交AC于點F，連接DF并延長交AB于點G，則AG的長為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 6$\sqrt{2}$-6
• D． 12-6$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 連接BD，交AC于點O，根據(jù)正方形的性質得到BD=6$\sqrt{2}$，OB=3$\sqrt{2}$，根據(jù)等邊三角形的性質得到AE=AD，∠DAE=60°，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠ABE=∠ABE=15°，求得∠FBO=30°，根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論．

解答  解：連接BD，交AC于點O，
∵四邊形ABCD是正方形，BC=6，
∴BD=6$\sqrt{2}$，
∴OB=3$\sqrt{2}$，
∵△ADE是等邊三角形，
∴AE=AD，∠DAE=60°，
∴AB=AE，∠BAE=150°，
∴∠ABE=∠ABE=15°，
∴∠FBO=30°，
∴OF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OB=$\sqrt{6}$，AF=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，CF=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∵AB∥CD，
∴△AFG∽△CFD，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{AG}{CD}$，即$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}$=$\frac{AG}{6}$，
解之，得AG=12-6$\sqrt{3}$．
故選D．

點評 本題考查了正方形的性質，等邊三角形的性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵．