Question

16．如圖所示，在平面直角坐標系中，O為原點，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2與y軸相交于點A，與x軸相交于點B，C，點E在線段AB上運動，過點O作OF⊥OE交AC于點F．
（1）求點A，B，C的坐標；
（2）求證：
①點A在△OEF的外接圓上；
②∠OFE=∠OAE；
（3）若點Q為拋物線上一動點，是否存在點Q，使得∠QBC=2∠OFE？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分別令x=0，y=0，列方程即可解決問題．
（2）①首先利用勾股定理的逆定理證明∠EAF=90°，取EF的中點K，連接AK，OK，可得AK=OK=KE=KF，由此即可證明．
②利用四點共圓的性質即可證明．
（3）存在．如圖2中，取BC中點N，則N（$\frac{3}{2}$，0），由∠ANB=2∠ACB=2∠BAO=2∠OFE，作直線BQ₁∥AN，交拋物線于Q₁，則∠Q₁BC=2∠OFE．求出直線BQ₁的解析式即可解決問題，再根據(jù)對稱性求出點Q₂坐標．

解答 解：（1）對于拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
令x=0，得y=2，∴點A坐標（0，2），
令y=0，則x²-3x-4=0，解得x=-1或4，
∴B（-1，0），C（4，0）．

（2）①如圖1中，

證明：∵OA=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，BC=5，
∴AB²+AC²=25，BC²=25，
∴AB²+AC²=BC²，
∴∠BAC=90°，取EF的中點K，連接AK，OK．
∵∠EAF=∠EOF=90°，
∴AK=OK=KE=KF，
∴點A在△OEF的外接圓上．
②證明：∵∠EAF=∠EOF=90°，
∴A、E、O、F四點共圓，
∴∠EFO=∠OAE．

（3）存在．
理由：如圖2中，取BC中點N，則N（$\frac{3}{2}$，0），

∵∠BAC=90°，BN=CN，
∴AN=BN=CN，
∴∠NAC=∠NCA，
∴∠ANB=2∠ACB=2∠BAO=2∠OFE，
作直線BQ₁∥AN，交拋物線于Q₁，則∠Q₁BC=2∠OFE．
∵直線AN的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+2，
∴直線BQ₁為y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{20}{3}}\\{y=-\frac{92}{9}}\end{array}\right.$，
∴Q₁（$\frac{20}{3}$，-$\frac{92}{9}$）．
∵直線BQ₁關于x軸的對稱的直線BQ₂的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{28}{9}}\end{array}\right.$，
∴直線BQ₂與拋物線的交點Q₂的坐標為（$\frac{4}{3}$，$\frac{28}{9}$）．
綜上所述，滿足條件的點Q的坐標（$\frac{20}{3}$，-$\frac{92}{9}$）或（$\frac{4}{3}$，$\frac{28}{9}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)．勾股定理的逆定理，四點共圓的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用方程組求兩個函數(shù)的交點坐標，學會分類討論，屬于中考壓軸題．