Question

11．如圖，已知拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3交x軸于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），交y軸于C點(diǎn)，拋物線上有一點(diǎn)M，橫坐標(biāo)為4．
（1）求△ACM的面積；
（2）在直線OM下方拋物線上有一點(diǎn)N，使∠MON=45°，求N的橫坐標(biāo)；
（3）在（2）條件下，將∠MON繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，射線OM，射線ON交直線BC分別為E，F(xiàn)，將△OEF沿OE翻折得到△OEG（G為F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），連接CG，若CE：CG=3：4，求線段CE的長．

Answer 1

分析 （1）由拋物線解析式得出A、B、C的坐標(biāo)，算出M點(diǎn)的坐標(biāo)，由A、M坐標(biāo)算出直線AM的解析式，AM與y軸的交點(diǎn)設(shè)為D，則A與M橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值作為水平寬，C與D的縱坐標(biāo)之差作為鉛垂高，$\frac{1}{2}$×水平寬×鉛垂高就是△ACM的面積；
（2）只要確定ON所在直線的解析式即可，過點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H，MJ⊥y軸于點(diǎn)J；作BK⊥MJ于點(diǎn)K，交OM于點(diǎn)L，ON交直線MJ于點(diǎn)I，這樣OBKJ就是正方形，而∠MOI=45°，也就是經(jīng)典的大角夾半角模型，易證BL+IJ=IL，故設(shè)IJ為未知數(shù)，將三角形ILK的三邊分別表示出來，即可用勾股定理列方程解出IJ的長度．只要確定IJ的長度就可確定I點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定ON的解析式，也就可以確定N點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）分三種情況討論：①E在線段BC上，CB延長線上；②E、F均在線段BC上；③E在BC延長線上，F(xiàn)在線段BC上．三種情況都是經(jīng)典的大角夾半角模型（或變形），每種情況都可證三角形CEG是直角三角形，證法幾乎完全一樣，只需證一次，后面同理即可，由給定的比例關(guān)系確定CE與BC的比例關(guān)系就可求出CE的長度．

解答 解：（1）如圖1，連接AC、CM、AM，

設(shè)AM與y軸交于點(diǎn)D，
∵點(diǎn)M在拋物線上，且橫坐標(biāo)為4，
∴M（4，-3），
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3=$-\frac{1}{2}（{x}^{2}-x-6）=-\frac{1}{2}（x-3）（x+2）$，
∴A（-2，0），B（3，0），
設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{4k+b=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
∴直線AM的解析式為：$y=-\frac{1}{2}x-1$，
∴D（0，-1），
∵C（0，3），
∴${S}_{△ACM}=\frac{1}{2}×（{x}_{M}-{x}_{A}）（{y}_{C}-{y}_{D）}$=$\frac{1}{2}×6×4$=12；

（2）如圖2，過點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H，MJ⊥y軸于點(diǎn)J；作BK⊥MJ于點(diǎn)K，交OM于點(diǎn)L，作∠MOI=45°，OI交MJ于點(diǎn)I，OI的延長交拋物線于點(diǎn)N（未畫出，也不用畫出，知道∠MON是45°就行）；延長MJ至P，使JP=BL，連接OP．

∵M(jìn)（4，-3），
∴MH=OJ=BK=3，OH=MJ=4，
∵B（3，0），
∴OB=JK=BK=OJ=3，KM=1，
∴OBKJ是正方形，
∵BL=JP，
在△PJO和△LBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OJ=OB}\\{∠OJP=∠OBL}\\{JP=BL}\end{array}\right.$，
∴△PJO≌△LBO（SAS），
∴OP=OL，∠POJ=∠LOB，
∵∠IOL=45°，
∴∠JOI+∠BOL=45°，
∴∠JOI+∠POJ=45°，
∴∠POI=∠LOI，
在△POI和△LOI中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=OL}\\{∠POI=∠LOI}\\{OI=OI}\end{array}\right.$，
∴△POI≌△LOI（SAS），
∴IL=PI=PJ+IJ=IJ+BL，
∵KM=1，OB=3，
∴$\frac{BL}{LK}=\frac{3}{1}$，
∴BL=$\frac{3}{4}BK=\frac{9}{4}$，$LK=\frac{1}{4}BK=\frac{3}{4}$，
設(shè)IJ=t，則IL=t+$\frac{9}{4}$，IK=3-t，
在直角三角形LKI中，由勾股定理可知：
$（t+\frac{9}{4}）^{2}=\frac{9}{16}+（3-t）^{2}$，解得t=$\frac{3}{7}$，
∴I（$\frac{3}{7}$，-3），
∴直線ON的解析式為：y=-7x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-7x}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{15+\sqrt{249}}{2}}\\{y=\frac{-105-7\sqrt{249}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{15-\sqrt{249}}{2}}\\{y=\frac{-105+7\sqrt{249}}{2}}\end{array}\right.$（舍去），
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{15+\sqrt{249}}{2}$，$\frac{-105-7\sqrt{249}}{2}$）；

（3）①如圖3，E點(diǎn)B點(diǎn)上方，F(xiàn)點(diǎn)在B點(diǎn)下方，

∵∠EOG=∠EOF=45°，
∴∠COG+∠BOE=45°=∠BOF+∠BOE，
∠COG=∠BOF，
∵OC=OB，OG=OF，
在△COG與△BOF中：
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠COG=∠BOF}\\{OG=OB}\end{array}\right.$
∴△COG≌△BOF（SAS），
∴BF=CG，∠OCG=∠OBF=135°，
∵∠OCB=45°，
∴∠ECG=90°，
∵$\frac{CE}{CG}=\frac{3}{4}$，
設(shè)CE=3h，CG=4h，則EG=5h，
∴BF=CG=4h，EF=EG=5h，
∴BE=h，
∴CE=$\frac{3}{4}$BC=$\frac{9}{4}$$\sqrt{2}$；
②如圖4，E、F在線段BC上，

同①可證△OBF≌△OCG，
∴∠GCO=∠FBO=45°，
∴∠GCE=90°，
∵$\frac{CE}{CG}=\frac{3}{4}$，
設(shè)CE=3h，CG=4h，
則EG=EF=5h，BF=CG=4h，
∴CE=$\frac{3}{3+4+5}BC=\frac{1}{4}BC$=$\frac{3}{4}\sqrt{2}$；
③如圖5，E在BC延長線上，F(xiàn)在線段BC上，

同①可證△OBF≌△OCG，
∴∠GCO=∠FBO=45°，
∴∠GCE=90°，
∵$\frac{CE}{CG}=\frac{3}{4}$，
設(shè)CE=3h，CG=4h，
則EG=EF=5h，BF=CG=4h，
∴CF=2h，
∴CE=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
綜上所述，CE的長度為$\frac{9}{4}$$\sqrt{2}$或$\frac{3}{4}\sqrt{2}$或$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道經(jīng)典中考?jí)狠S題，綜合考查了點(diǎn)與拋物線的關(guān)系、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、鉛垂高法求三角形面積、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、旋轉(zhuǎn)變換、對(duì)稱變換、分類討論等眾多的知識(shí)點(diǎn)和技能，難度較大．第（1）問當(dāng)中，對(duì)于在平面直角坐標(biāo)系中求斜三角形的面積，鉛垂高法是重要訣竅，這一方法高頻地出現(xiàn)在各種與面積有關(guān)的壓軸題當(dāng)中，要引起高度重視；第（2）問，要求N點(diǎn)的坐標(biāo)，其關(guān)鍵在于求出ON所在直線的解析式，將直線解析式與拋物線方程聯(lián)立即可解出來N點(diǎn)坐標(biāo)，這里用到的是正方形當(dāng)中90度夾半角模型，也就是用幾何手段確定了直線ON的解析式（連N點(diǎn)都不需要畫在圖上），方法很巧，值得重視；第（3）問，由于∠MON在旋轉(zhuǎn)過程中位置有三種情況，所以要分類討論，每一種情況也是大角夾半角（或其變形）旋轉(zhuǎn)模型的應(yīng)用．縱觀本題，其實(shí)函數(shù)的知識(shí)考的不是太多，幾何所占的比重更大，是一道考查同學(xué)們綜合能力的好題．