Question

10．如圖，某校綜合實踐活動小組的同學(xué)欲測量公園內(nèi)一棵樹DE的高度，他們在這棵樹正前方一座樓亭前的臺階上A點處測得樹頂端D的仰角為30°，朝著這棵樹的方向走到臺階下的點C處，測得樹頂端D的仰角為60°．已知A點的高度AB為2m，臺階AC的坡度為1：$\sqrt{3}$，且B、C、E三點在同一條直線上．請根據(jù)以上條件：
（1）求出點A到點C的距離AC．
（2）求出樹DE的高度．（測量器的高度忽略不計）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)坡度求出∠ACB的度數(shù)，據(jù)此即可求出AC的長；
（2）由于AF⊥DE于F，則四邊形ABEF為矩形，設(shè)DE=x，在Rt△CDE中，CE=$\frac{DE}{∠DCE}$=$\frac{DE}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．在Rt△ABC中，得到$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，在Rt△AFD中，求出x的長．

解答 解：（1）∵臺階AC的坡度為1：$\sqrt{3}$，
∴tan∠ACB=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴tan∠ACB=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ACB=30°，
∴AC=4m．
（2）如圖：由于AF⊥DE于F，則四邊形ABEF為矩形，
∴AF=BE，EF=AB=2．
設(shè)DE=x，在Rt△CDE中，CE=$\frac{DE}{∠DCE}$=$\frac{DE}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
在Rt△ABC中，
∵$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
AB=2，
∴BC=2$\sqrt{3}$．
在Rt△AFD中，DF=DE-EF=x-2．
∴AF=$\frac{DF}{tan∠DAF}$=$\frac{x-2}{tan30°}$=$\sqrt{3}$（x-2），
∵AF=BE=BC+CE．
∴$\sqrt{3}$（x-2）=2$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
解得x=6．
答：樹DE的高度為6米．

點評 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用--仰角俯角問題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．