Question

20．已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∠EBC=2∠C．
（1）求證：AB=AC；
（2）若tan∠ABE=$\frac{1}{2}$，求$\frac{AB}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由BE為圓O的切線，BA為圓的弦，即∠EAB為圓弦切角，根據(jù)弦切角等于所夾弧所對(duì)的圓周角，可得出∠EBA=∠C，根據(jù)已知的∠EBC=2∠C，得到∠ABC=∠C，根據(jù)等角對(duì)等邊可得出AB=AC，得證；
（2）連接OA，由AB=AC，根據(jù)等弦對(duì)等劣弧得到A為弧BC的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的逆定理得到OA垂直于BC，D為BC的中點(diǎn)，再由∠EBA=∠C，由tan∠EBA的值得到tanC的值，即為tan∠ABC的值，在直角三角形ABD中，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義得出AD與BD的比值，設(shè)AD=k，則有BD=2k，利用勾股定理表示出AB，再由BC=2BD，表示出BC，即可求出AB與BC的比值．

解答 解：（1）∵BE為圓O的切線，BA為圓的弦，
∴∠EBA為弦切角，
∴∠EBA=∠C，又∠EBC=2∠C，
∴∠EBC=2∠EBA，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC；

（2）連接OA，
∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴OA⊥BC，
∴D為BC的中點(diǎn)，即BD=CD，
∵tan∠ABE=$\frac{1}{2}$，∠EBA=∠ABC，
∴tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，
在Rt△ABD中，tan∠ABC=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)AD=k，則BD=2k，BC=4k，
在△ABD中，∠ADB=90°，
根據(jù)勾股定理得：AB=$\sqrt{{BD}^{2}{+AD}^{2}}$=$\sqrt{5}$k，
則$\frac{AB}{BC}$$\frac{\sqrt{5}k}{4k}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，弦、圓心角及弧之間的關(guān)系，勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．