Question

7．已知△ABC是銳角三角形，BA=BC，點E為AC邊的中點，點D為AB邊上一點，且∠ABC=∠AED=α．
（1）如圖1，當α=40°時，∠ADE=70°；
（2）如圖2，取BC邊的中點F，聯(lián)結FD，將∠AED繞點E順時針旋轉適當?shù)慕嵌圈拢é拢鸡粒�，得到∠MEN，EM與BA的延長線交于點M，EN與FD的延長線交于點N．
①依題意補全圖形；
②猜想線段EM與EN之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質和三角形的內(nèi)角和定理可求；
（2）①根據(jù)題意畫圖即可；
②首先證明EA=ED=EC，得到∠ADC=90°，然后求出∠EAM=∠EDN，易證△EAM≌△EDN，所以EM=EN．

解答 解：（1）70；
∵AB=BC，∠ABC=α=40°，
∴∠A=70°，
∵∠AED=α=40°
∴∠ADE=70°；
（2）①見右圖；
②EM=EN．
證明：∵∠ABC=∠AED=α．BA=BC，
∴∠A=∠EDA=∠ACB=90°-$\frac{α}{2}$，
∴EA=ED，
∵E是AC中點，
∴EA=EC，
∴EA=EC=ED，
∴∠ADC=90°，
∵∠EAM=180°-∠EAD=180°-（90°-$\frac{α}{2}$）=90°+$\frac{α}{2}$，
∵點F是BC中點，
∴FB=FD，
∴∠FDB=∠ABC=α，
∴∠EDN=∠EDA+∠ADN=∠EDA+∠FDB=90°-$\frac{α}{2}$+α=90°+$\frac{α}{2}$，
∴∠EAM=∠EDN，
∵∠AED繞點E順時針旋轉適當?shù)慕嵌龋�得到∠MEN，
∴∠AED=∠MEN，
∴∠AED-∠AEN=∠MEN-∠AEN，
即∠MEA=∠NED，
在△EAM和△EPN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAM=∠EDN}\\{EA=ED}\\{∠MEA=∠NED}\end{array}\right.$，
∴△EAM≌△EPN（ASA），
∴EM=EN．

點評 本題主要考查了等腰三角形的性質和判定，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，如果三角形一邊中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形，三角形內(nèi)角和定理以及三角形全等的性質與判定，挖掘三角形全等的條件是解決問題的關鍵．