Question

3．復(fù)習(xí)課中，教師給關(guān)于x的函數(shù)直線l：y=mx+n-1，教師：請獨(dú)立思考，并把探索發(fā)現(xiàn)的與該函數(shù)有關(guān)的結(jié)論（性質(zhì)）寫到黑板上，學(xué)生思考后，黑板上出現(xiàn)了一些結(jié)論，教師作為活動一員，又補(bǔ)充一些結(jié)論，并從中選擇如下四條：
①當(dāng)n=5，m=-$\frac{4}{3}$時，原點(diǎn)到l的距離為3；
②當(dāng)m=-1時，直線l與直線l₁：y=2x+4的交點(diǎn)在第二象限，則n的范圍為-1≤n≤5；
③當(dāng)m=n時，直線l經(jīng)過定點(diǎn)（1，-1）；
④當(dāng)m=n＜0時，直線1與x軸交于A點(diǎn)，OA的長度始終大于1．
教師：請你分別判斷四條結(jié)論的真假，并給出理由．

Answer 1

分析 ①根據(jù)直線解析式求得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，進(jìn)而運(yùn)用面積法求得原點(diǎn)到l的距離；
②當(dāng)m=-1時，直線l為y=-x+n-1，求得與y軸交于（0，n-1），再根據(jù)l與直線l₁的交點(diǎn)在第二象限，即可得出n-1的范圍是-2＜n-1＜4，進(jìn)而得到n的范圍；
③當(dāng)m=n時，直線l為y=mx+m-1，求得當(dāng)x=-1時，y=-m+m-1=-1，進(jìn)而得到直線l經(jīng)過定點(diǎn)（-1，-1）；
④當(dāng)m=n＜0時，直線l與x軸交于負(fù)半軸上的A點(diǎn)，求得當(dāng)y=0時，0=mx+n-1，解得x=$\frac{1-n}{m}$，進(jìn)而得到當(dāng)m=n時，x=$\frac{1}{m}$-1，再根據(jù)m＜0，得到$\frac{1}{m}$-1＜-1，即點(diǎn)A離原點(diǎn)的距離大于1，即可得出OA的長度始終大于1．

解答 解：①當(dāng)n=5，m=-$\frac{4}{3}$時，直線l為：y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴直線l與坐標(biāo)軸分別交于（3，0）和（0，4），
∴原點(diǎn)到l的距離為$\frac{12}{5}$，故結(jié)論①錯誤；
②當(dāng)m=-1時，直線l為y=-x+n-1，與y軸交于（0，n-1），
直線l₁：y=2x+4與坐標(biāo)軸交于（-2，0），（0，4），
∵l與直線l₁的交點(diǎn)在第二象限，
∴n-1的范圍是：-2＜n-1＜4，
∴n的范圍為-1＜n＜5，故結(jié)論②錯誤；
③當(dāng)m=n時，直線l為y=mx+m-1，
∴當(dāng)x=-1時，y=-m+m-1=-1，
∴直線l經(jīng)過定點(diǎn)（-1，-1），故結(jié)論③錯誤；
④當(dāng)m=n＜0時，直線1經(jīng)過第二三四象限，
∴直線l與x軸交于負(fù)半軸上的A點(diǎn)，
∴當(dāng)y=0時，0=mx+n-1，
解得x=$\frac{1-n}{m}$，
當(dāng)m=n時，x=$\frac{1}{m}$-1，
又∵m＜0，
∴$\frac{1}{m}$-1＜-1，即點(diǎn)A離原點(diǎn)的距離大于1，
∴OA的長度始終大于1，故結(jié)論④正確．
綜上所述，①②③錯誤，④正確．

點(diǎn)評 本題屬于兩直線相交或平行的問題，解決問題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時注意：一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（-$\frac{k}$，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，b）．