Question

17．已知兩個(gè)以點(diǎn)O為圓心的圓，OA，OB是大圓的半徑．
（1）如圖①，OA，OB交小圓于點(diǎn)C和D，直線CD交大圓于點(diǎn)E和F，求證：$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$；
（2）如圖②，延長AO，BO交小圓于點(diǎn)C和D，直線CD交大圓于點(diǎn)E和F，$\widehat{AE}$和$\widehat{BF}$是否相等？說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理，可得$\widehat{EG}$=$\widehat{FG}$，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得∠OCD=∠OAB，根據(jù)平行的性質(zhì)，可得垂徑定理，根據(jù)垂徑定理，可得$\widehat{AG}=\widehat{BG}$，根據(jù)等式的性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)垂徑定理，可得$\widehat{EG}$=$\widehat{FG}$，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得∠OCD=∠OAB，根據(jù)平行的性質(zhì)，可得垂徑定理，根據(jù)垂徑定理，可得$\widehat{AG}=\widehat{BG}$，根據(jù)等式的性質(zhì)，可得答案．

解答 （1）證明：如圖1，接接AB，OE，OF，作OG⊥CD，，
∵OG⊥EF，
∴$\widehat{EG}$=$\widehat{FG}$．
∵$\left\{\begin{array}{l}{\frac{OC}{OA}=\frac{OD}{OB}}\\{∠COD=∠AOB}\end{array}\right.$，
∴△COD∽△AOB，
∴∠OCD=∠OAB，
∴CD∥AB，
又∵OG⊥CD，
∴OG⊥AB，
∴$\widehat{AG}=\widehat{BG}$，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$；
（2）如圖2接接AB，OE，OF，作OG⊥CD，，
∵OG⊥EF，
∴$\widehat{EG}$=$\widehat{FG}$．
∵$\left\{\begin{array}{l}{\frac{OC}{OA}=\frac{OD}{OB}}\\{∠COD=∠AOB}\end{array}\right.$，
∴△COD∽△AOB，
∴∠OCD=∠OAB，
∴CD∥AB，
又∵OG⊥CD，
∴OG⊥AB，
∴$\widehat{AG}=\widehat{BG}$，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩圓的位置關(guān)系，利用了垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等式的性質(zhì)，利用垂徑定理得出平分弦所對(duì)的弧是解題關(guān)鍵．