Question

3．在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是△ABC的高，
（1）當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，如圖①，求證：AB+DB=DC．
（2）當(dāng)∠BAC≠90°時(shí)，如圖②、③，請直接寫出圖②和圖③中AB、DB、DC的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．
（3）若AD=12，AB=13，則BC=3．

Answer 1

分析 （1）如圖1在DC上截DM=DB，則AB=AM，∠B=∠AMB=2∠C=2∠CAM，因此AM=CM，從而得到CD=DM+MC=AB+BD；
（2）如圖②在DC上截DM=DB，則AB=AM，∠B=∠AMB=2∠C=2∠CAM，因此AM=CM，從而得到CD=DM+MC=AB+BD；如圖③由∠ABC=2∠C，∠ABC=∠C+∠BAC，得到∠BAC=∠C，AB=CB，所以CB=AB，CD=BD+AB；
（3）由勾股定理求得BD=5，再根據(jù)（2）中的結(jié)論求得BC=3．

解答 （1）如圖1證明：在DC上截DM=DB，
∵AD⊥BC，DM=BD，
∴AD是BM的垂直平分線，
∴AB=AM（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等），
∴∠B=∠AMB（等邊對等角），
∵∠B=2∠C，∠AMB=∠C+∠MAC，
∴∠MAC=∠C，
∴AM=CM，
∴CM=AB，
∴CD=DM+MC=BD+AB．

（2）CD=AB+BD，如圖②在DC上截DM=DB，
∵AD⊥BC，DM=BD，
∴AD是BM的垂直平分線，
∴AB=AM（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等），
∴∠B=∠AMB（等邊對等角），
∵∠B=2∠C，∠AMB=∠C+∠MAC，
∴∠MAC=∠C，
∴AM=CM，
∴CM=AB，
∴CD=DM+MC=BD+AB，
如圖③∵∠ABC=2∠C，∠ABC=∠C+∠BAC，
∴∠BAC=∠C，
∴AB=CB，
∴CB=AB，
∴AB=DB+CD；

（3）在R_t△ABD中，
∵AB=13，AD=12，
∴BD=$\sqrt{{AB}^{2}{-AD}^{2}}$=5，
由（2）知，CD=AB-8，
∴BC=CD-BD=3，
故答案為：3．

點(diǎn)評 此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，勾股定理的綜合運(yùn)用．