Question

11．（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE=BD+CE．
（2）組員小劉想，如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運(yùn)用這個知識來解決問題：如圖（3），過△ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點(diǎn)I，求證：I是EG的中點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由條件可證明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；
（2）由條件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，結(jié)合條件可證明△ABD≌△CAE，同（1）可得出結(jié)論；
（3）由條件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，結(jié)合條件可證明△EMI≌△GNI，可得出結(jié)論I是EG的中點(diǎn)．

解答 解：（1）如圖1，

∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ADB和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}\\{∠BDA=∠CEA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；            
（2）DE=BD+CE．
如圖2，

證明如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中．
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC}\\{∠DBA=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$．
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE            
（3）如圖3，

過E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延長線于N．
∴∠EMI=GNI=90°
由（1）和（2）的結(jié)論可知EM=AH=GN
∴EM=GN
在△EMI和△GNI中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GIH=∠EIM（對頂角相等）}\\{EM=GN}\\{∠GHI=∠EMI}\end{array}\right.$，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI=GI
∴I是EG的中點(diǎn)

點(diǎn)評 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，由條件證明三角形全等得到BD=AE、CE=AD是解題的關(guān)鍵．