Question

4．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=-$\frac{2}{3}$x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸交于A（-3，0），與y軸交于點(diǎn)C．以直線x=-1為對(duì)稱軸的拋物線y=ax+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a＞0）經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)B．
（1）求一次函數(shù)及拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
（2）在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC的周長(zhǎng)最�。咳舸嬖�，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）點(diǎn)D是線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、點(diǎn)C重合），過點(diǎn)D作DE‖PC交x軸于點(diǎn)E，連接PD、PE．設(shè)CD的長(zhǎng)為m，△PDE的面積為S．求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式．并說明S是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法即可直接求出一次函數(shù)解析式，根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸求出B點(diǎn)坐標(biāo)，利用交點(diǎn)式即可求出二次函數(shù)解析式；
（2）要使△PBC的周長(zhǎng)最小，只需BP+CP最小即可．求出直線AC解析式，將x=-1代入即可求出P點(diǎn)縱坐標(biāo)，從而求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）將S_△PDE轉(zhuǎn)化為S_△AOC-S_△DOE-S_△PDC-S_△PEA，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)，然后求二次函數(shù)的最大值．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{2}{3}$x+m經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0），
∴0=2+m，解得m=-2，
∴直線AC解析式為y=-$\frac{2}{3}$x-2，
C（0，-2）．
∵拋物線y=ax²+bx+c對(duì)稱軸為x=-1，且與x軸交于A（-3，0），
∴另一交點(diǎn)為B（1，0），設(shè)拋物線解析式為y=a（x+3）（x-1），
∵拋物線經(jīng)過 C（0，-2），
∴-2=a•3（-1），解得a=$\frac{2}{3}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x-2．
（2）要使△PBC的周長(zhǎng)最小，只需BP+CP最小即可．如圖1，
連接AC交x=-1于P點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于x=-1對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短，可知此時(shí)BP+CP最�。˙P+CP最小值為線段AC的長(zhǎng)度）．
∵A（-3，0）（，0），C（0，-2），
∴直線AC解析式為y=-$\frac{2}{3}$x-2，
∵x_P=-1，
∴y_P=-$\frac{4}{3}$，即P（-1，-$\frac{4}{3}$）
（3）如圖2：
∵設(shè)CD的長(zhǎng)為m，△PDE的面積為S，
∴D（0，m-2），
∵DE∥PC，直線AC解析式為y=-$\frac{2}{3}$x-2，
∴設(shè)直線DE解析式y(tǒng)=-$\frac{2}{3}$x+m-2，
當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{3}{2}$m-3，
∴E（$\frac{3}{2}$m-3，0），
S_△PDE=S_△AOC-S_△DOE-S_△PDC-S_△PEA
=3-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$m×$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{2}$×（3-$\frac{3}{2}$m）×（2-m）-$\frac{1}{2}$×m×1
=-$\frac{3}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m
=-$\frac{3}{4}$（m-1）²+$\frac{3}{4}$，
∴當(dāng)m=1時(shí)有最大值$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解式、軸對(duì)稱最短路徑問題、三角形的面積公式、二次函數(shù)求最大值，綜合性較強(qiáng)，（1）根據(jù)對(duì)稱軸求出B點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵；（2）中，要熟悉軸對(duì)稱的性質(zhì)；（3）要熟悉二次函數(shù)求最值．