Question

1．已知關于x的一元二次方程x²-2x+3m-1=0有兩個實數根分別為x₁，x₂．
（1）求m的取值范圍；
（2）若|x₁-x₂|=1，求m的值；
（3）將m表示為x的二次函數，求該二次函數的最大（或最�。┲担�

Answer 1

分析 （1）根據關于x的一元二次方程x²-2x+3m-1=0有兩個實數根分別為x₁，x₂，得出b²-4ac≥0，然后代入求解即可；
（2）根據根與系數的關系得出x₁+x₂=2，x₁x₂=3m-1，再把|x₁-x₂|=1進行變形，即可求出m的值；
（3）根據題意得出m=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，再根據二次函數的性質即可得出答案．

解答 解：（1）∵x²-2x+3m-1=0有兩個實數根分別為x₁和x₂，
∴b²-4ac=（-2）²-4（3m-1）≥0，
∴m≤$\frac{2}{3}$；

（2）∵x₁+x₂=2，x₁x₂=3m-1，
∴|x₁-x₂|²=|（x₁+x₂）²-4x₁x₂|=|4-4（3m-1）|=4|2-3m|=1，
∴2-3m=±$\frac{1}{4}$，
∴m=$\frac{7}{12}$或$\frac{3}{4}$（不合題意，舍去），
∴m=$\frac{7}{12}$；

（3）∵m=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，
∴當x=1時，m有最大值，最大值是2．

點評 本題考查了根的判別式、根與系數的關系與二次函數的最值問題，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．