Question

20．如圖，在矩形ABCD中，AC是對角線，E、F分別在BC、AD邊上，將邊AB沿AE折疊，點B落在對角線AC上的G處，將邊CD沿CF折疊，點D落在對角線AC上的點H處．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．
（2）若AB=6，AC=10，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）先證明△AEG≌△CFH，從而可證明AE=FC，且AE∥FC，最后依據(jù)平行四邊形的判定定理進行證明即可；
（2）先利用勾股定理求得BC的長，設(shè)BE=x，則EC=8-x，然后再Rt△EGC中，依據(jù)勾股定理列方程求解即可．

解答 解：（1）由翻折的性質(zhì)可知AB=AG，CH=DC，∠ABE=$\frac{1}{2}$∠BAG，∠FCH=$\frac{1}{2}$∠DCH．
又∵AB=CD，∠BAG=∠DCH，
∴AG=FC，∠EAG=∠FCH．
在△AEG和△FCH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EGA=∠FHC}\\{AG=CH}\\{∠EAG=∠FCH}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△FCH．
∴AE=CF，∠EAG=∠FCH．
∴AE∥FC．
∴四邊形AECF是平行四邊形．

（2）∵AB=6 AC=10，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=8．
設(shè)BE=x，則EG=x，EC=8-x．
∵AG=AB=6，
∴CG=4．
∵EG²+GC²=EC²，
∴x²+4²=（8-x）²，解得x=3
∴BE=3．

點評 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、勾股定理的應(yīng)用，依據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．