Question

17．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2cm，將△ABC折疊，使點B落在射線CA上點D處，折痕為PQ．
（1）當(dāng)點D與點A重合時，求PQ長；
（2）當(dāng)點D與C、A不重合時，設(shè)AD=xcm，AP=ycm．
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
②當(dāng)重疊部分為等腰三角形時，請直接寫出x的值．

Answer 1

分析 （1）由折疊得出PQ是AB的垂直平分線，進而得出PQ是△ABC的中位線，即可得出結(jié)論；
（2）①由折疊得出PD=BP=2-y，再用勾股定理建立方程即可得出結(jié)論；
②根據(jù)等腰三角形的定義，分①PD=DQ時，BP=BQ，再根據(jù)翻折變換前后的線段相等判斷出BP=BQ=PD=DQ，從而得到四邊形BQDP是菱形，根據(jù)菱形的對邊平行可得PD∥BC，BP∥DQ，然后判斷出△APD和△CDQ都是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)用AD表示出PD、CD，然后根據(jù)AC的長度列方程求解即可；②DQ=PQ時，BQ=PQ，求出△BPQ是等腰直角三角形，點B與點C重合，從而得到AD=AC；③PD=PQ時，PQ=BP，然后求出△BPQ是等腰直角三角形，點B與點A重合，不符合題意．

解答 解：（1）如圖，
當(dāng)點D和點A重合時，
由折疊知，AP=BP，∠BPQ=∠APQ，
∵∠APQ+∠BPQ=180°，
∴∠BPQ=∠APQ=90°=∠BAC，
∴PQ∥AC，
∵AP=BP，
∴PQ是△ABC的中位線，
∴PQ=$\frac{1}{2}$AC=1；

（2）①∵AD=x，AC=2，
∴CD=2-x，
∵AP=y，AB=2，
∴BP=2-y，
在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB=2，
∴BC=2$\sqrt{2}$，∠B=∠C=45°，
如圖1，
由折疊知，DP=BP=2-y，
在Rt△ADP中，根據(jù)勾股定理得，AP²+AD²=PD²，
∴y²+x²=（2-y）²，
∴y=-$\frac{1}{4}$x²+1（0≤x≤2）；

②、Ⅰ、PD=DQ時，BP=BQ，
由翻折變換得，BP=PD，BQ=DQ，
∴BP=BQ=PD=DQ，
∴四邊形BQDP是菱形，
∴PD∥BC，BP∥DQ，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴△APD和△CDQ都是等腰直角三角形，
在Rt△APD中，PD=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$x，
在Rt△CDQ中，CD=DQ，
∵PD=DQ，
∴CD=$\sqrt{2}$AD，
∵AC=AD+CD，
∴AD+$\sqrt{2}$AD=2，
即：x+$\sqrt{2}$x=2
解得AD=2$\sqrt{2}$-2；
Ⅱ、DQ=PQ時，BQ=PQ，
∴∠BPQ=∠B=45°，
∴△BPQ是等腰直角三角形，
∴點B與點C重合，
∴x=AD=AC=2；
Ⅲ、PD=PQ時，PQ=BP，
∴∠BQP=∠B=45°，
∴△BPQ是等腰直角三角形，
∴點B與點A重合，
此時，點B與點A重合，不符合題意，舍去；
綜上所述，AD的長度為2或2$\sqrt{2}$-2．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是得出PQ是AB的垂直平分線，解（2）①的關(guān)鍵是利用勾股定理建立方程，解（2）②的關(guān)鍵是分類討論思想，是一道中考常考題．