Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線C₁：y=$\frac{3}{2}{x}^{2}+6x+2$的頂點為M，與y軸相交于點N，先將拋物線C₁沿x軸翻折，再向右平移p個單位長度后得到拋物線C₂：直線l：y=kx+b經(jīng)過M，N兩點．
（1）結(jié)合圖象，直接寫出不等式$\frac{3}{2}$x²+6x+2＜kx+b的解集；
（2）若拋物線C₂的頂點與點M關于原點對稱，求p的值及拋物線C₂的解析式；
（3）若直線l沿y軸向下平移q個單位長度后，與（2）中的拋物線C₂存在公共點，求3-4q的最大值．

Answer 1

分析 （1）令拋物線C₁的解析式中x=0，求出y值即可得出點N的坐標，再利用配方法將拋物線C₁的解析式配方，即可得出頂點M的坐標，結(jié)合函數(shù)圖象的上下位置關系，即可得出不等式的解集；
（2）找出點M關于x軸對稱的對稱點的坐標，找出點M關于原點對稱的對稱點的坐標，二者橫坐標做差即可得出p的值，根據(jù)拋物線的開口大小沒變，開口方向改變，再結(jié)合平移后的拋物線的頂點坐標即可得出拋物線C₂的解析式；
（3）由點M、N的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線l的解析式，根據(jù)直線l沿y軸向下平移q個單位長度后與拋物線C₂存在公共點，即可得出方程-$\frac{3}{2}$x²+6x-2=3x+2-q有實數(shù)根，利用根的判別式△≥0，即可求出q的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出當q=$\frac{5}{2}$時，3-4q取最大值，代入數(shù)據(jù)求出最值即可．

解答 解：（1）令y=$\frac{3}{2}{x}^{2}+6x+2$+6x+2中x=0，則y=2，
∴N（0，2）；
∵y=$\frac{3}{2}{x}^{2}+6x+2$+6x+2=$\frac{3}{2}$（x+2）²-4，
∴M（-2，-4）．
觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：當-2＜x＜0時，拋物線C₁在直線l的下方，
∴不等式$\frac{3}{2}$x²+6x+2＜kx+b的解集為-2＜x＜0．
（2）∵拋物線C₁：y=$\frac{3}{2}{x}^{2}+6x+2$的頂點為M（-2，-4），
沿x軸翻折后的對稱點坐標為（-2，4）．
∵拋物線C₂的頂點與點M關于原點對稱，
∴拋物線C₂的頂點坐標為（2，4），
∴p=2-（-2）=4．
∵拋物線C₂與C₁開口大小相同，開口方向相反，
∴拋物線C₂的解析式為y=-$\frac{3}{2}$（x-2）²+4=-$\frac{3}{2}$x²+6x-2．
（3）將M（-2，-4）、N（0，2）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=-4}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線l的解析式為y=3x+2．
∵若直線l沿y軸向下平移q個單位長度后與拋物線C₂存在公共點，
∴方程-$\frac{3}{2}$x²+6x-2=3x+2-q有實數(shù)根，即3x²-6x+8-2q=0有實數(shù)根，
∴△=（-6）²-4×3×（8-2q）≥0，解得：q≥$\frac{5}{2}$．
∵-4＜0，
∴當q=$\frac{5}{2}$時，3-4q取最大值，最大值為-7．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及根的判別式，解題的關鍵是：（1）求出M、N點的坐標；（2）根據(jù)點M找出拋物線C₂的頂點坐標；（3）利用根的判別式求出q的取值范圍．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)有交點，將一次函數(shù)解析式代入二次函數(shù)解析式中利用根的判別式△≥0來解決問題是關鍵．