Question

18．如圖，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線y=-x²+2mx（m＞1）交x軸正半軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)P（1，m）作直線PD⊥x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)B，記點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，連結(jié)CB，CP．
（1）用含m的代數(shù)式表示BC的長(zhǎng)．
（2）連結(jié)CA，當(dāng)m為何值時(shí)，CA⊥CP？
（3）過(guò)點(diǎn)E（1，1）作EF⊥BD于點(diǎn)E，交CP延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
①當(dāng)m=$\frac{5}{4}$時(shí)，判斷點(diǎn)F是否落在拋物線上，并說(shuō)明理由；
②延長(zhǎng)EF交AC于點(diǎn)G，在EG上取一點(diǎn)H，連結(jié)CH，若CH=CG，且△PFE與△CHG的面積相等，則m的值是$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 （1）先確定B（1，2m-1）和拋物線的對(duì)稱軸，則利用對(duì)稱性得到C（2m-1，2m-1），于是可用m表示BC的長(zhǎng)；
（2）解方程-x²+2mx=0得A（2m，0），再利用兩點(diǎn)間的距離公式得到PC²=5m²-10m+5，AC²=4m²-4m+2，PA²=5m²-4m+1，然后利用勾股定理得到5m²-10m+5+4m²-4m+2=5m²-4m+1，再解方程即可得到m的值；
（3）①當(dāng)m=$\frac{5}{4}$時(shí)，拋物線的解析式為y=-x²+$\frac{5}{2}$x，C點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，$\frac{5}{4}$），再利用待定系數(shù)法求出直線PC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$，則可得到F（$\frac{1}{2}$，1），然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可判斷點(diǎn)F是否在拋物線上；
②作CM⊥HG于M，利用等腰三角形的性質(zhì)得GM=HM，易得直線PC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+m-$\frac{1}{2}$，直線AC的解析式為y=（-2m+1）x+4m²-2m，再分別求出F（3-2m，1），G（$\frac{4{m}^{2}-2m-1}{2m-1}$，1），然后利用三角形面積公式得到（1-3+2m）•（m-1）=2（2m-1-1）•（$\frac{4{m}^{2}-2m-1}{2m-1}$-2m+1），整理得2m²-7m+5=0，于是解方程可得到m的值．

解答 解：（1）當(dāng)x=1時(shí)，y=-x²+2mx=2m-1，則B（1，2m-1），
拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-$\frac{2m}{2×（-1）}$=m，
∴C（2m-1，2m-1），
∴BC=2m-1-1=2m-2；
（2）當(dāng)y=0時(shí)，-x²+2mx=0，解得x₁=0，x₂=2m，則A（2m，0），
PC²=（2m-1-1）²+（2m-1-m）²=5m²-10m+5，AC²=（2m-1-2m）²+（2m-1）²=4m²-4m+2，PA²=（2m-1）²+m²=5m²-4m+1，
當(dāng)PC²+AC²=PA²，△PCA為直角三角形，PC⊥AC，
即5m²-10m+5+4m²-4m+2=5m²-4m+1，
整理得2m²-5m+3=0，解得m₁=$\frac{3}{2}$，m₂=1（舍去），
即當(dāng)m為$\frac{3}{2}$時(shí)，CA⊥CP；
（3）①在．
理由如下：
當(dāng)m=$\frac{5}{4}$時(shí)，拋物線的解析式為y=-x²+$\frac{5}{2}$x，C點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，$\frac{5}{4}$），
設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b，
把C（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），P（1，$\frac{5}{4}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}k+b=\frac{3}{2}}\\{k+b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線PC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$，
當(dāng)y=1時(shí)，$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$=1，解得x=$\frac{1}{2}$，則F（$\frac{1}{2}$，1），
而x=$\frac{1}{2}$時(shí)，y=-x²+$\frac{5}{2}$x=-$\frac{1}{4}$+$\frac{5}{4}$=1，
∴點(diǎn)F在拋物線上；
②作CM⊥HG于M，則GM=HM，
P（1，m），C（2m-1，2m-1），A（2m，0），
易得直線PC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+m-$\frac{1}{2}$，直線AC的解析式為y=（-2m+1）x+4m²-2m，
當(dāng)y=1時(shí)，$\frac{1}{2}$x+m-$\frac{1}{2}$=1，解得x=3-2m，則F（3-2m，1），
當(dāng)y=1時(shí)，（-2m+1）x+4m²-2m=1，解得x=$\frac{4{m}^{2}-2m-1}{2m-1}$，則G（$\frac{4{m}^{2}-2m-1}{2m-1}$，1），
∵△PFE與△CHG的面積相等，
∴$\frac{1}{2}$•EF•PE=2•$\frac{1}{2}$•CM•GM，
即（1-3+2m）•（m-1）=2（2m-1-1）•（$\frac{4{m}^{2}-2m-1}{2m-1}$-2m+1）
整理得2m²-7m+5=0，解得m₁=$\frac{5}{2}$，m₂=1（舍去），
即m的值為$\frac{5}{2}$．
故答案為$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式．