Question

9．已知點P是半徑為1的⊙O外一點，PA切⊙O于點A，且PA=1，AB是⊙O的弦，AB=$\sqrt{2}$，連接PB，則PB=1或$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 本題應分兩種情況進行討論：
（1）如圖1，可以根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)即可求出PB；
（2）如圖2，此時可以根據(jù)已知條件證明PABO是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理即可求出PB．

解答 解：連接OA，
（1）如圖1，連接OA，
∵OB=AO=1，AB=$\sqrt{2}$，
∴OB²+OA²=AB²，
∴∠AOB=90°，
∵PA是⊙的切線，
∴∠PAO=90°，
∵PA∥OB，
∵PA=1，
∴PA=OB，
∴四邊形PAOB是平行四邊形，
∴PB=OA=1；
（2）如圖2，連接OA，與PB交于C，
∵PA是⊙O的切線，
∴OA⊥PA，
而PA=AO=1
∴OP=$\sqrt{2}$；
∵AB=$\sqrt{2}$，
而OA=OB=1，
∴AO⊥BO，
∴四邊形PABO是平行四邊形，
∴PB，AO互相平分；
設AO交PB與點C，
即OC=$\frac{1}{2}$，
∴BC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴PB=$\sqrt{5}$．
故答案為：1或$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定等知識，綜合性比較強，注意分類討論，不要漏解．