Question

2．如圖，點(diǎn)E在CA延長線上，DE、AB交于F，且∠BDE=∠AEF，∠B=∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P為線段DC上一動點(diǎn)，Q為PC上一點(diǎn)，且滿足∠FQP=∠QFP，F(xiàn)M為∠EFP的平分線．則下列結(jié)論：
①AB∥CD；
②FQ平分∠AFP； 
③∠B+∠E=140°； 
④∠QFM的角度為定值．
其中正確結(jié)論的個數(shù)有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 ①由∠BDE=∠AEF可得出AE∥BD，進(jìn)而可得出∠B=∠EAF，結(jié)合∠B=∠C可得出∠EAF=∠C，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”可得出AB∥CD，結(jié)論①正確；②由AB∥CD可得出∠AFQ=∠FQP，結(jié)合∠FQP=∠QFP可得出∠AFQ=∠QFP，即FQ平分∠AFP，結(jié)論②正確；③由AB∥CD可得出∠EFA=∠FDC，結(jié)合∠EFA比∠FDC的余角小10°可求出∠EFA的度數(shù)，再由∠B=∠EAF結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求出∠B+∠E=140°，結(jié)論③正確；④根據(jù)角平分線的定義可得出∠MFP=$\frac{1}{2}$∠EFA+$\frac{1}{2}$∠AFP以及∠QFP=$\frac{1}{2}$∠AFP，將其代入∠QFM=∠MFP-∠QFP可求出∠QFM的角度為定值20°，結(jié)論④正確．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：①∵∠BDE=∠AEF，
∴∴AE∥BD，
∴∠B=∠EAF．
∵∠B=∠C，
∴∠EAF=∠C，
∴AB∥CD，結(jié)論①正確；
②∵AB∥CD，
∴∠AFQ=∠FQP．
∵∠FQP=∠QFP，
∴∠AFQ=∠QFP，
∴FQ平分∠AFP，結(jié)論②正確；
③∵AB∥CD，
∴∠EFA=∠FDC．
∵∠EFA比∠FDC的余角小10°，
∴∠EFA=40°．
∵∠B=∠EAF，∠EAF+∠E+∠EFA=180°，
∴∠B+∠E=180°-∠EFA=140°，結(jié)論③正確；
④∵FM為∠EFP的平分線，
∴∠MFP=$\frac{1}{2}$∠EFP=$\frac{1}{2}$∠EFA+$\frac{1}{2}$∠AFP．
∵∠AFQ=∠QFP，
∴∠QFP=$\frac{1}{2}$∠AFP，
∴∠QFM=∠MFP-∠QFP=$\frac{1}{2}$∠EFA=20°，結(jié)論④正確．
綜上所述：正確的結(jié)論有①②③④．
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、余角和補(bǔ)角、角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理，逐一分析四條結(jié)論的正誤是解題的關(guān)鍵．