Question

1．如圖，已知直線(xiàn)a∥b，且a與b之間的距離為4，點(diǎn)A到直線(xiàn)a的距離為2，點(diǎn)B到直線(xiàn)b的距離為3，AB=2$\sqrt{30}$．試在直線(xiàn)a上找一點(diǎn)M，在直線(xiàn)b上找一點(diǎn)N，滿(mǎn)足MN⊥a且AM+MN+NB的長(zhǎng)度和最短，則此時(shí)AM+NB=8．

Answer 1

分析 MN表示直線(xiàn)a與直線(xiàn)b之間的距離，是定值，只要滿(mǎn)足AM+NB的值最小即可．過(guò)A作直線(xiàn)a的垂線(xiàn)，并在此垂線(xiàn)上取點(diǎn)A′，使得AA′=MN，連接A'B，則A'B與直線(xiàn)b的交點(diǎn)即為N，過(guò)N作MN⊥a于點(diǎn)M．則A'B為所求，利用勾股定理可求得其值．

解答 解：過(guò)A作直線(xiàn)a的垂線(xiàn)，并在此垂線(xiàn)上取點(diǎn)A′，使得AA′=4，連接A′B，與直線(xiàn)b交于點(diǎn)N，過(guò)M作直線(xiàn)a的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)a于點(diǎn)N，連接AN，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AA′，交射線(xiàn)AA′于點(diǎn)E，如圖．
∵AA′⊥a，MN⊥a，
∴AA′∥MN．
又∵AA′=MN=4，
∴四邊形AA′N(xiāo)M是平行四邊形，
∴AM=A′N(xiāo)．
由于A(yíng)M+MN+NB要最小，且MN固定為4，所以AM+NB最�。�
由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，可知AM+NB的最小值為A′B．
∵AE=2+3+4=9，AB=$2\sqrt{30}$，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{39}$，
∵A′E=AE-AA′=9-4=5，
∴A′B=$\sqrt{A′{E}^{2}+B{E}^{2}}$=8
所以AM+NB的最小值為8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最小距離問(wèn)題，勾股定理的應(yīng)用、平行線(xiàn)之間的距離，解答本題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)M、點(diǎn)N的位置，難度較大，注意掌握兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短．