Question

5．如圖1在△HGI中，如果O、P分別是GH、GP的中點(diǎn)，那么OP∥HI且OP=$\frac{1}{2}$HI．利用此結(jié)論解決如下問題：如圖2，已知在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是線段BM，CM的中點(diǎn)．
（1）求證：△ABM≌△DCM；
（2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)AD：AB=2：1時，四邊形MENF是正方形，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）先判斷出MA=MD，∠A=∠D=90°，AB=DC即可判斷出結(jié)論；
（2）先判斷出四邊形MENF是平行四邊形，再判斷出ME=MF即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出∠AMB+∠DMC=90°，進(jìn)而判斷出∠AMB=∠ABM=45°，即可得出AB=AM，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，
∵M(jìn)是邊AD的中點(diǎn)，
∴MA=MD，
在△ABM和△DCM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠A=∠B}\\{MA=MD}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DCM；
（2）四邊形MENF是菱形；
理由：∵N，E，F(xiàn)分別是BC，BM，CM的中點(diǎn)，
∴NE∥CM，NE=$\frac{1}{2}$CM，MF=$\frac{1}{2}$CM，
∴NE=FM，
∵NE∥FM，
∴四邊形MENF是平行四邊形，
由（1）知，△ABM≌△DCM，
∴BM=CM，
∵E，F(xiàn)分別是BM、CM的中點(diǎn)，
∴ME=$\frac{1}{2}$BM，MF=$\frac{1}{2}$CM，
∴ME=MF，
∴?MENF是菱形；

（3）∵四邊形NEMF是正方形，
∴∠EMF=90°，
∴∠AMB+∠DMC=90°，
由（1）知，△ABM≌△DCM，
∴∠AMB=∠DMC，
∴∠AMB=45°，
在△ABM中，∠ABM=90°-45°=45°，
∴AB=AM，
∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，
∴AD=2AM，
∴AD=2AB，
∴AD：AB=2：1，
故答案為2：1．

點(diǎn)評 此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是判斷出MA=MD，解（2）的關(guān)鍵是判斷出四邊形MENF是平行四邊形，解（3）的關(guān)鍵是判斷出∠AMB=∠ABM=45°．