Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，?OABC的邊OA落在x軸正半軸上，頂點(diǎn)C（3，4），點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作DE∥OC，F(xiàn)G∥OA分別交?OABC各邊如圖所示，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象過點(diǎn)D．
（1）若四邊形DCOE的面積為4，求k的值；
（2）若四邊形PDCF是菱形，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）過C作CM⊥x軸于點(diǎn)M，由平行四邊形DCOE的面積可求得OE，過D作DN⊥x軸于點(diǎn)N，由C點(diǎn)坐標(biāo)則可求得ON的長，從而可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可求得k的值；
（2）延長BC交y軸于點(diǎn)Q，由四邊形PDCF為菱形可證得四邊形OABC為菱形，由C點(diǎn)坐標(biāo)可求得OC的長，從而可求得OQ和BQ的長，可求得B點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）如圖1，過C作CM⊥x軸于點(diǎn)M，過D作DN⊥x軸于點(diǎn)N，則四邊形CMND為矩形，

∵四邊形OABC為平行四邊形，
∴CD∥OE，且DE∥OC，
∴四邊形DCOE為平行四邊形，
∵C（3，4），
∴OM=3，CM=4，
∴S_{四邊形DCOE}=OE•CM=4，即4OE=4，解得OE=1，
∴CD=MN=1，
∴ON=OM+MN=3+1=4，DN=CM=4，
∴D（4，4），
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象過點(diǎn)D，
∴k=4×4=16；

（2）如圖2，過延長BC交y軸于點(diǎn)Q，

∵BC∥OA，
∴BQ⊥y軸，
∵C（3，4），
∴OQ=4，CQ=3，
在Rt△OCQ中，由勾股定理可求得OC=5，
當(dāng)四邊形PDCF為菱形時(shí)，則∠OCA=∠BCA=∠BAC，
∴BA=BC，且四邊形OABC為平行四邊形，
∴四邊形OABC為菱形，
∴BC=OC=5，
∴BQ=CQ+BC=3+5=8，
∴B（8，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、菱形的性質(zhì)等知識(shí)．在（1）中求得D點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）由條件證得四邊形OABC為菱形是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．