Question

4．[探究]如圖1，將△ABC沿著DE折疊后，使點(diǎn)A落在∠BAC的內(nèi)部點(diǎn)A′處．試判斷∠1、∠2與A的數(shù)量關(guān)系．并證明．
[應(yīng)用]如圖2，將△ABC沿著DE折疊后，使點(diǎn)A落在∠BAC的內(nèi)部．
（1）若∠B=95°，∠C=25°，則∠1+∠2=120°；
（2）若∠1+∠2=80°，則∠B+∠C=130°；
（3）若AE∥BD，∠B+∠C=130°，則∠2=50°．
[變式]如圖3，將△ABC沿著DE折疊后，使點(diǎn)A落在∠BAC的外部點(diǎn)A′處，試判斷∠1、∠2與∠A的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 [探究]運(yùn)用折疊原理及四邊形的內(nèi)角和定理即可解決問題；
[應(yīng)用]（1）運(yùn)用折疊原理及四邊形的內(nèi)角和定理即可解決問題；
（2）根據(jù)[探究]的結(jié)論代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠A′，由三角形的內(nèi)角和得到∠A的度數(shù)，然后根據(jù)[探究]的結(jié)論即可求得結(jié)果；
[變式]運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)即可解決問題．

解答 解：[探究]如圖1，∠A=∠1+∠2．
理由如下：∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA=360°，
∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA=360°，
∴∠A′+∠A=∠1+∠2，
由折疊知識(shí)可得∠A=∠A′，
∴2∠A=∠1+∠2；

[應(yīng)用]（1）如圖1，延長(zhǎng)BD，CE交于A，
∵∠B=95°，∠C=25°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=60°
由[探究]得，2∠A=∠1+∠2，
∴∠1+∠2=2∠A=120°；
故答案為：120°；
（2）∵∠1+∠2=80°，∴∠A=$\frac{1}{2}$（∠1+∠2）=40°，
∴∠B+∠C=180°-∠A=140°；
故答案為：140°；
（3）∵A′E∥BD，
∴∠1=∠A′=∠A，∵∠B+∠C=130°，
∴∠A=50°，∠1=50°，
∵∠1+∠2=2∠A=100°，
∴∠2=50°，
故答案為：50°

2∠A=∠1-∠2．
證明：∵∠1=∠EFA+∠A，∠EFA=∠A′+∠2，
∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A++∠2，
∴2∠A=∠1-∠2．

點(diǎn)評(píng) 本體考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，外角性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形靈活運(yùn)用有關(guān)定理來解題．