Question

9．如圖，△ABC的角平分線交于點O．
（1）若∠B=60°，則∠AOC=120°，若∠B=80°，則∠AOC=130°；
（2）若∠B=α，求∠AOC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC+∠BCA的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠BCA），然后再利用三角形的內(nèi)角和定理求解即可；
（2）方法同（1）．

解答 解：（1）∵OA，OC分別是∠BAC，∠BCA的平分線，
∴∠OAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OCA=$\frac{1}{2}$∠BCA，
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-$\frac{1}{2}$∠BAC-$\frac{1}{2}$∠BCA，
=180°-$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠BCA）．
又∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-60°=120°．
∴$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠BCA）=120°×$\frac{1}{2}$=60°．
∴∠AOC=180°-60°=120°，
當(dāng)∠B=80°時，同理可得∠AOC=130°，
故答案為：120°，130°；

（1））∵OA，OC分別是∠BAC，∠BCA的平分線，
∴∠OAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OCA=$\frac{1}{2}$∠BCA，
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-$\frac{1}{2}$∠BAC-$\frac{1}{2}$∠BCA，
=180°-$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠BCA）．
∵∠B=α，
∴∠BAC+∠BCA=180°-α，
∴$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠BCA）=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}α$，
∴∠AOC=180°-（90°-$\frac{1}{2}$α）=90°+$\frac{1}{2}α$．

點評 本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．