Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=a（x-4）²-1交y軸于A點(diǎn)，交x軸于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)）．已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．
（1）求a的值；
（2）過(guò)點(diǎn)B作線(xiàn)段AB的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線(xiàn)BD相切，求此時(shí)圓C的半徑；并請(qǐng)判斷拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l與⊙C有怎樣的位置關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由（參考值：$\sqrt{5}$≈2.236，$\sqrt{13}$≈3.606）；
（3）已知點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于A，C兩點(diǎn)之間，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAC的面積最大？并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△PAC的最大面積．

Answer 1

分析 （1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入其中，即可求出此二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式，易求得對(duì)稱(chēng)軸l的解析式及B、C的坐標(biāo)，分別求出直線(xiàn)AB、BD、CE的解析式，再求出CE的長(zhǎng)，與到拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的距離相比較即可；
（3）過(guò)P作y軸的平行線(xiàn)，交AC于Q；易求得直線(xiàn)AC的解析式，可設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出P、Q的縱坐標(biāo)，也就得出了PQ的長(zhǎng)；然后根據(jù)三角形面積的計(jì)算方法，可得出關(guān)于△PAC的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出△PAC的最大面積及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線(xiàn)為y=a（x-4）²-1，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3），
∴3=a（0-4）²-1，
解得：a=$\frac{1}{4}$；
（2）相交．
理由如下：（如圖1）
連接CE，則CE⊥BD，
當(dāng)$\frac{1}{4}$（x-4）²-1=0時(shí)，x₁=2，x₂=6，
A（0，3），B（2，0），C（6，0），
∴對(duì)稱(chēng)軸x=4，
∴OB=2，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，BC=4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{OB}{CE}$，
即$\frac{\sqrt{13}}{4}$=$\frac{2}{CE}$，解得CE=$\frac{8\sqrt{13}}{13}$，
∵$\frac{8\sqrt{13}}{13}$＞2，
故拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l與⊙C相交；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作平行于y軸的直線(xiàn)交AC于點(diǎn)Q，
可求出AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3，
設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{4}$m²-2m+3），
則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}$m+3）；
∴PQ=-$\frac{1}{2}$m+3-（$\frac{1}{4}$m²-2m+3）=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m，
∵S_△PAC=S_△PAQ+S_△PCQ=$\frac{1}{2}$×（-m²+$\frac{3}{2}$m）×6，
=-$\frac{3}{4}$（m-3）²+$\frac{27}{4}$，
∴當(dāng)m=3時(shí)，△PAC的面積最大為$\frac{27}{4}$，
此時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，-$\frac{3}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、圖形面積的求法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠正確做出圖形的輔助線(xiàn)，表示出PQ的長(zhǎng)．