Question

12．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作半圓⊙O，交BC于點(diǎn)D，連接AD，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）如果⊙O的半徑為5，cos∠DAB=$\frac{4}{5}$，求BF的長．

Answer 1

分析 （1）首先連接OD，由在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作半圓⊙O，可得AD⊥BD，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可得∠1=∠2，繼而證得OD∥AC，又由DE⊥AC，可得DE⊥OD，即可判定EF是⊙O的切線；
（2）由⊙O的半徑為5，cos∠DAB=$\frac{4}{5}$，可求得AD的長，繼而求得AE的長，易證得△FOD∽△FAE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得答案．

解答 （1）證明：連接OD，
∵AB是半圓⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
即DE⊥EF，
∴EF是⊙O的直徑；

（2）解：∵OA=5，
∴AB=10，cos∠DAB=$\frac{4}{5}$，
∴AD=8，
∵∠1=∠2，
∴cos∠2=$\frac{4}{5}$，
∴AE=6.4，
∵OD∥AC，
∴△FOD∽△FAE，
∴FO：FA=OD：AE，
即（FB+5）：（FB+10）=5：6.4，
解得：FB=$\frac{90}{7}$．

點(diǎn)評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及圓周角定理．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．