Question

14．如圖，△ABC中，E是AC上一點(diǎn)，且AE=AB，∠EBC=$\frac{1}{2}$∠BAC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，交EB于點(diǎn)F．
（1）求證：BC與⊙O相切；
（2）連接BD，求∠ADB的度數(shù)；
（3）若AB=8，sin∠EBC=$\frac{1}{4}$，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先連接AF，由AB為直徑，根據(jù)圓周角定理得∠AFB=90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAF=∠EBC，從而證得BC與⊙O相切；
（2）直接利用圓周角定理求解；
（3）首先過(guò)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，由三角函數(shù)的性質(zhì)可求得BF的長(zhǎng)，易證得△CEG∽△CAB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案．

解答 （1）證明：連接AF，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠AFB=90°，
∵AE=AB，
∴△ABE為等腰三角形，
∴∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAC．
∵∠EBC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BAF=∠EBC，
∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°，即∠ABC=90°．
∴AB⊥BC，
∴BC與⊙O相切；

（2）∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°；

（3）解：過(guò)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，如圖，
∵∠BAF=∠EBC，
∴sin∠BAF=sin∠EBC=$\frac{1}{4}$，
在Rt△AFB中，
∴BF=AB•sin∠BAF=8×$\frac{1}{4}$=2，
∴BE=2BF=4，
在Rt△EGB中，
∴EG=BE•sin∠EBC=4×$\frac{1}{4}$=1，
∵EG⊥BC，AB⊥BC，
∴EG∥AB，
∴△CEG∽△CAB，
∴CE：CA=EG：AB，即CE：（CE+8）=1：8，
∴CE=$\frac{8}{7}$，
∴AC=AE+CE=8+$\frac{8}{7}$=$\frac{64}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了解直角三角形和利用相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)．