Question

1．如圖，Rt△ABC中，分別以AB、AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰Rt△ABE、Rt△ACD，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，連接MD、ME．
（1）若AB=8，AC=4，求MD的長．
（2）求證：MD⊥ME．

Answer 1

分析 （1）延長CD交AB于點(diǎn)F，先證明△ADF≌△ADC，得出AC=AF，CD=DF，再證明MD是△CBF的中位線，得出DM=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$（AB-AF），即可得出結(jié)果；
（2）連接MF，EF，先證明MF是△ABC的中位線，得出MF∥AC，再證明E、M、F三點(diǎn)共線，得出MD⊥EF，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）延長CD交AB于點(diǎn)F；如圖1所示：
在△ADF和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAD=∠CAD}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\\{∠ADF=∠ADC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴AC=AF=4，CD=DF，
又∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，
∴MD是△CBF的中位線，
∴MD∥BF，DM=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$（AB-AF）
=$\frac{1}{2}$（AB-AC）=$\frac{1}{2}$（8-4）=2，
（2）證明：連接MF，EF，如圖2所示：
∵AB=8，AF=4，
∴F是AB的中點(diǎn)，
∴MF是△ABC的中位線，
∴MF∥AC，
∵AB⊥AC，
∴MF⊥AB，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴EF⊥AB（三線合一），
∴E、M、F三點(diǎn)共線，
∵M(jìn)D∥AB，
∴MD⊥EF，
∴MD⊥ME．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理；本題有一定難度，綜合性強(qiáng)，特別是（2）中，需要通過作輔助線證明三點(diǎn)共線才能得出結(jié)論．