Question

4．已知：在正方形ABCD中，點P為對角線BD上一點，連接CP，作PE⊥PC交直線AB于E，作EQ⊥BD交直線BD于Q．
（1）在圖1中，當點P與對角線交點O重合時，易知點E，點Q都與點B重合，猜想CD與PQ的數(shù)量關系為CD=$\sqrt{2}$PQ；
（2）如圖2，當P在線段DO上（不與D、O重合）移動時，（1）中的猜想還成立么，若成立，請證明；不成立請說明理由．
（3）當P在線段BO上（不與B、O重合）移動時，如圖3，請你畫出圖形，（1）中的猜想還成立么，若成立，請直接寫出結論；不成立請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質得出AB=AD=BC=CD，OB=OC=OD，AC⊥BD，∠BDC=45°，得出△OBC是等腰直角三角形，證出CD=BC=$\sqrt{2}$OB=$\sqrt{2}$PQ；
（2）過點P作MN⊥AB于M，交CD于N，則MN=AD=CD=AB，△PDN是等腰直角三角形，∠MPE+MEP=90°，得出PN=DN，證出PM=CN，由角的互余關系證出∠MEP=∠NPC，由AAS證明△PEM≌△CPN，得出PE=CP，同理：△PEQ≌△CPO，由全等三角形的性質得出PQ=CO，即可得出CD=$\sqrt{2}$CO=$\sqrt{2}$PQ；
（3）同（2）得：△PEQ≌△CPO，得出PQ=CO，即可得出CD=$\sqrt{2}$CO=$\sqrt{2}$PQ

解答 解：（1）CD=$\sqrt{2}$PQ；理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，OB=OC=OD，AC⊥BD，∠BDC=45°，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴CD=BC=$\sqrt{2}$OB=$\sqrt{2}$PQ；
故答案為：CD=$\sqrt{2}$PQ；
（2）成立；理由如下：
過點P作MN⊥AB于M，交CD于N，如圖2所示：
則MN=AD=CD=AB，△PDN是等腰直角三角形，∠MPE+MEP=90°，
∴PN=DN，
∴PM=CN，
∵PE⊥PC，
∴∠MPE+∠NPC=90°，
∴∠MEP=∠NPC，
在△PEM和△CPN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EMP=∠PNC=90°}&{\;}\\{∠MEP=∠NPC}&{\;}\\{PM=CN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PEM≌△CPN（AAS），
∴PE=CP，
同理：△PEQ≌△CPO，
∴PQ=CO，
∴CD=$\sqrt{2}$CO=$\sqrt{2}$PQ；
（3）成立；理由如下：如圖3所示：
同（2）得：△PEQ≌△CPO，
∴PQ=CO，
∴CD=$\sqrt{2}$CO=$\sqrt{2}$PQ．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質、等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，熟練掌握正方形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．