Question

14．如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象交于M（2，m）、N（-1，-4）兩點(diǎn)．求：
（1）反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)圖象寫(xiě)出反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x的取值范圍．
（3）請(qǐng)?jiān)趛軸上確定一點(diǎn)P，使得|MP-PN|的值最大，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-10）．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)N的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可得k的值，把M的橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可得m的值，把M，N的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式可得a，b的值；
（2）根據(jù)圖象上兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)即可得到結(jié)論；
（3）作N點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)N′，連接MN′，直線MN′與y軸交點(diǎn)即為P點(diǎn)，此時(shí)|PM-PN|最大，直線MN′與y軸的交點(diǎn)即為所求．

解答 解：（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{k}{x}$，
把N的坐標(biāo)代入得k=-1×（-4）=4，反比例函數(shù)解析式為 y=$\frac{4}{x}$，
把M的坐標(biāo)代入y=$\frac{4}{x}$得  2m=4，m=2，
把M的坐標(biāo)代入y=ax+b得  2=2a+b
把N的坐標(biāo)代入y=ax+b得-4=-a+b
解得a=2，b=-2．
∴一個(gè)函數(shù)的解析式為 y=2x-2；

（2）由圖象知：0＜x＜2或x＜-1，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值；

（3）作N（-1，-4）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接MN′，直線MN′與y軸交點(diǎn)即為P點(diǎn)，此時(shí)|PM-PN|最大，
∵N（-1，-4），
∴N′（1，-4），
設(shè)直線MN′的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4=k+b}\\{2=2k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=6}\\{b=-10}\end{array}\right.$，
令x=0，則y=-10，
∴P（0，-10）．
故答案為：（0，-10）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用函數(shù)的解析式求點(diǎn)的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，求三角形的面積，最值問(wèn)題，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．