Question

3．如圖，直線y=mx+4交x軸于D，交y軸于C，交雙曲線y=$\frac{k}{x}$在第二象限交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（-3，n），且S_△OBE=$\frac{3}{2}$．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）直接寫(xiě)出不等式mx+4＞$\frac{k}{x}$的解集；
（3）若將線段AB在直線y=mx+4上平移到PQ位置，直接寫(xiě)出OP+OQ的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)S_△OBE=$\frac{1}{2}$|k|=$\frac{3}{2}$結(jié)合圖象可得反比例函數(shù)解析式，再求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入一次函數(shù)解析式即可得；
（2）聯(lián)立方程組求出直線和雙曲線的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象可得答案；
（3）由OP+OQ≥2$\sqrt{OP•OQ}$知當(dāng)OP=OQ時(shí)OP+OQ取得最小值，再根據(jù)勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)可得PO的長(zhǎng)度，繼而得出答案．

解答 解：（1）∵S_△OBE=$\frac{1}{2}$|k|=$\frac{3}{2}$，
∴|k|=3，
∵k＜0，
∴k=-3，即反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{3}{x}$，
將點(diǎn)B（-3，n）代入，得：n=1，
∴B（-3，1），
將點(diǎn)B（-3，1）代入y=mx+4，得：-3m+4=1，
解得：m=1，
∴直線解析式為y=x+4；

（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{x}}\\{y=x+4}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)A（-1，3）、B（-3，1），
由圖象可得：不等式mx+4＞$\frac{k}{x}$的解集為-3＜x＜-1；

（3）∵OP+OQ≥2$\sqrt{OP•OQ}$，
∴當(dāng)OP=OQ時(shí)，OP+OQ取得最小值，
如圖，作OE⊥PQ于點(diǎn)E，

∵PQ=AB=$\sqrt{（-3+1）^{2}+（1-3）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴PE=QE=$\sqrt{2}$，
由y=-x+4知，OD=4，∠CDO=45°，
∴OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OD=2$\sqrt{2}$，
則PO=$\sqrt{P{E}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴OP+OQ=2$\sqrt{10}$，
即OP+OQ的最小值為2$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，掌握用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式、銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．