Question

4．如圖1，已知雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）與直線y=k₁x交于A，B兩點，點A在第一象限．試解答下列問題：
（1）若點A的坐標為（4，2），則點B的坐標為（-4，-2）；由此得到：OA=OB（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）請你利用（1）的結(jié)論解決以下問題；
①如圖2，過原點O作另一條直線y=k₂x（k₁≠k₂），交雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）于P、Q兩點，點P在第一象限，求證：四邊形APBQ一定是平行四邊形；
②如圖3，當k=12，k₁=$\frac{3}{4}$，k₂=$\frac{4}{3}$時，判定四邊形APBQ的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用A點坐標可分別求得雙曲線和直線的解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式則可求得B點坐標，從而可求得OA和OB的長，可求得答案；
（2）①聯(lián)立雙曲線和直線PQ的解析式，可表示出P、Q的坐標，可求得OP=OQ，則可證得結(jié)論；②由雙曲線和兩直線解析式可分別求得A、B、P、Q的坐標，可求得OA=OB、OP=OQ，則可證得四邊形APBQ為平行四邊形．

解答 解：
（1）∵雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）與直線y=k₁x交于A，B兩點，且A（4，2），
∴2=$\frac{k}{4}$，2=4k₁，解得k=8，k₁=$\frac{1}{2}$，
∴雙曲線解析式為y=$\frac{8}{x}$，直線AB解析式為y=$\frac{1}{2}$x，
聯(lián)立兩函數(shù)解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{8}{x}}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴B（-4，-2），
∴A、B關(guān)于原點對稱，
∴OA=OB，
故答案為：（-4，-2）；=；
（2）①聯(lián)立雙曲線與直線PQ解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{k}{x}}\\{y={k}_{2}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{k{k}_{2}}}{{k}_{2}}}\\{y=\sqrt{k{k}_{2}}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{k{k}_{2}}}{{k}_{2}}}\\{y=-\sqrt{k{k}_{2}}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{\sqrt{k{k}_{2}}}{{k}_{2}}$，$\sqrt{k{k}_{2}}$），Q（-$\frac{\sqrt{k{k}_{2}}}{{k}_{2}}$，-$\sqrt{k{k}_{2}}$），即P、Q關(guān)于原點對稱，
∴OP=OQ，
由（1）可得OA=OB，
∴四邊形APBQ一定是平行四邊形；
②四邊形APBQ為矩形．，理由如下：
當k=12，k₁=$\frac{3}{4}$，k₂=$\frac{4}{3}$時，
雙曲線解析式為y=$\frac{12}{x}$，直線AB解析式為y=$\frac{3}{4}$x，直線PQ解析式為y=$\frac{4}{3}$x，
聯(lián)立雙曲線和直線AB解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{12}{x}}\\{y=\frac{3}{4}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴A（4，3），B（-4，-3），
∴OA=OB=5，
同理可求得P（3，4），Q（-3，-4），
∴OP=OQ=5，
∴OA=OB=OP=OQ，
∴四邊形APBQ為矩形．

點評 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象的交點、待定系數(shù)法、中心對稱的性質(zhì)、平行四邊形的判定、矩形的判定等知識．在（1）中求得雙曲線與直線AB的解析式是解題的關(guān)鍵，在（2）①中表示出P、Q的坐標是解題的關(guān)鍵，在（2）②中求得A、B、P、Q的坐標是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．