Question

7．如圖，在△ABC中，AC=9，BC=12，AB=15，點(diǎn)M為AB邊上的點(diǎn)，過M作ME⊥AC交AC于E，MF⊥BC交BC于F，連接EF，則EF的最小值為$\frac{36}{5}$．

Answer 1

分析 連接CM，先根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知：EF=CM，當(dāng)CM最小時(shí)，則EF最小，根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)CM⊥AB時(shí)，則EF最小，再根據(jù)三角形的面積即可求出EF的長．

解答 解：連接CM，
在△ABC中，AC=9，BC=12，AB=15，
∵9²+12²=15²，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∵M(jìn)E⊥AC，MF⊥BC，
∴四邊形ECFM是矩形，
∴EF=CM，
當(dāng)CM最小時(shí)，則EF最小，根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)CM⊥AB時(shí)，則CM最小，
∴EF=CM=$\frac{9×12}{15}$=$\frac{36}{5}$．
故答案為：$\frac{36}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理的逆定理，矩形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的面積的不同求法，題目難度不大，設(shè)計(jì)很新穎，解題的關(guān)鍵是求EF的最小值轉(zhuǎn)化為其相等線段CM的最小值．