Question

5．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的一點(diǎn)，且∠ADE=∠AED，DE平分∠CDF，下列結(jié)論：①若∠EDC=20°，則∠BAD=40°；②∠DFC=∠ADB；③DF∥AB；④過D分別作△ABD、△ACD的高，長度分別為h₁、h₂，△ABC一腰上的高的長為h，則h₁+h₂=h，其中正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BAD=∠ADC-∠B，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，∠CDE=20°，于是得到∠BAD=∠ADE+20°-∠B=∠B+20°+20°-∠B=40°；故①正確；根據(jù)角平分線的定義得到∠FDC=2∠CDE=40°=∠ADB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠DFC=∠ADB；故②正確；由于∠B≠∠FDC，于是得到DF不一定與AB平行；故③錯(cuò)誤；過B作BH⊥AC于H，DM⊥AB于N，DN⊥AC于N，根據(jù)三角形的面積即可得到h₁+h₂=h，故④正確．

解答 解：∵在△ABD中，∠BAD=180°-∠B-∠ADB，
∠ADB=180°-∠ADC，
∴∠BAD=∠ADC-∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，∠CDE=20°，且∠AED=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE+20°-∠B=∠B+20°+20°-∠B=40°；故①正確；
∵DE平分∠CDF，
∴∠FDC=2∠CDE=40°=∠ADB，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD，∠DFC=180°-∠FDC-∠C，
∴∠DFC=∠ADB；故②正確；
∵∠DFC=∠ADB，
∵∠B≠∠BAD，
∴∠B≠∠FDC，
∴DF不一定與AB平行；故③錯(cuò)誤；
過B作BH⊥AC于H，DM⊥AB于N，DN⊥AC于N，
∴BH=h，DM=h₁，DN=h₂，
∴S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，
即$\frac{1}{2}$AC•h=$\frac{1}{2}$AB•h₁+$\frac{1}{2}$AC•h₂，
∵AB=AC，
∴h₁+h₂=h，
故④正確；
故選C．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的理解和掌握，難易程度適中，適合學(xué)生的訓(xùn)練，是一道典型的題目．