Question

17．如圖，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（8，0）、（0，6），將△OAB折疊，使OB邊落在AB邊上，點O與點C重合，折痕為BD．
（1）求折痕BD所在直線的解析式；
（2）求點C的坐標；
（3）在直線BD上求出滿足S_△PAB=$\frac{1}{3}$S_△AOB的點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得BC與OB的關(guān)系，DC與OD的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得D點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)線段的和差，可得AD、CA的長，根據(jù)勾股定理，可得C點坐標；
（3）根據(jù)三角形面積公式，可得O到AB的長，根據(jù)等底三角形面積間的關(guān)系，可得h與₁的關(guān)系，根據(jù)點到直線的距離，可得答案．

解答 解：（1）過點D作DC⊥AB于C，由折疊的性質(zhì)得：BC=OB，∠OBD=∠CBD，OD=DC．
∵點A、B的坐標分別為（8，0）、（0，6），
∴OB=6，OA=8，
∴AB=$\sqrt{{OB}^{2}{+OA}^{2}}$=10，
∴AD²=CD²+AC²，
∴（8-OD）²=OD²+4²，
∴OD=3，
∴D（3，0），
設(shè)直線BD的解析式：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{6=b}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式：y=-2x+6；
（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將A、B點坐標代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
直線AB的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+6，
設(shè)C點坐標為（b，-$\frac{3}{4}$b+6），
由勾股定理，得
（b-3）²+（-$\frac{3}{4}$b+6）²=3²，
解得b=$\frac{24}{5}$，-$\frac{3}{4}$×$\frac{24}{5}$+6=$\frac{12}{5}$，
C點坐標是（$\frac{24}{5}$，$\frac{12}{5}$）；
（3）設(shè)P點坐標為（c，-2c+6）設(shè)O到AB的距離為h，P到AB的距離為h₁，
由勾股定理，得
AB=10，由三角形的面積公式，得
$\frac{1}{2}$BA•h=$\frac{1}{2}$OB•OA，即h=$\frac{OB•OA}{BA}$=$\frac{24}{5}$，
由S_△PAB=$\frac{1}{3}$S_△OAB，得
h₁=$\frac{1}{3}$h=$\frac{1}{3}$×$\frac{24}{5}$=$\frac{8}{5}$，
h₁=$\frac{|\frac{3}{4}c+-2c+6-6|}{\sqrt{（\frac{3}{4}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{8}{5}$，
解得c₁=-$\frac{8}{5}$，-2c+6=$\frac{46}{5}$，即P₁（-$\frac{8}{5}$，$\frac{46}{5}$），
c₂=$\frac{8}{5}$，-2c+6=$\frac{14}{5}$，即P₂（$\frac{8}{5}$，$\frac{14}{5}$）．

點評 本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用了軸對稱的性質(zhì)，勾股定理得出D點坐標是解題關(guān)鍵；（2）利用勾股定理是解題關(guān)鍵；（3）利用等底三角形面積間的關(guān)系可得出h與₁的關(guān)系是解題關(guān)鍵．