Question

2．已知拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+4的對稱軸為x=1，與y交于點(diǎn)A，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，作平行四邊形ABOC并將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A′B′O′C′．
（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；
（2）求平行四邊形ABOC和平行四邊形A′B′O′C′重疊部分△OC′D的周長；
（3）若點(diǎn)P為△AOC內(nèi)一點(diǎn)，直接寫出PA+PC+PO的最小值（結(jié)果可以不化簡）以及直線CP的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱軸求出b的值，從而求出二次函數(shù)解析式，然后求出A，C的值；
（2）在?ABCD中，∠OAB=∠AOC=90°，則AB∥CO，證出△C′OD∽△BOA，先求出△AOB的周長為6+2$\sqrt{5}$，進(jìn)而求出△C′OD的周長；
（3）判斷此點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)，根據(jù)公式求出最小值，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線CP的解析式．

解答 解：（1）由已知得，x=-$\frac{2×（-\frac{1}{2}）}$=1，則b=1，拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，
∴A（0，4），令y=0，得-$\frac{1}{2}$x²+x+4=0，
∴x₁=-2，x₂=4．
（2）在?ABCD中，∠OAB=∠AOC=90°，則AB∥CO，
∴OB=$\sqrt{{OA}^{2}+{AB}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，OC′=OC=2，
∴∠OC′D=∠OCA=∠B，∠C′OD=∠BOA，
∴△C′OD∽△BOA，
∴$\frac{{C}_{△C′OD}}{{C}_{△BOA}}$=$\frac{OC′}{OB}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵△AOB的周長為6+2$\sqrt{5}$，
∴△C′OD的周長為（6+2$\sqrt{5}$）×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=2+$\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
（3）此點(diǎn)位費(fèi)馬點(diǎn)，設(shè)三角形AOB的三邊為a，b，c，
∵OC=2，OA=4，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
PA+PB+PC=$\sqrt{\frac{1}{2}\{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}+\sqrt{[3（a+b+c）（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）]}\}}$
=2$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$．
直線CP解析式為y=（$\sqrt{2}$-1）x+2$\sqrt{2}$-2．

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，四邊形的性質(zhì)，勾股定理，費(fèi)馬點(diǎn)等知識，綜合性強(qiáng)，值得關(guān)注．