Question

9．如圖，菱形紙片ABCD的邊長為2，折疊菱形紙片，將B、D兩點(diǎn)重合在對角線BD上的同一點(diǎn)P處，折痕分別為EF、GH．重合點(diǎn)P在對角線BD上移動(dòng)，設(shè)折痕EF的長為m．請你分別判斷以下結(jié)論的真假，并給出理由．
（1）若∠ABC=60°，六邊形AEFCHG的周長是4+2m；
（2）若∠ABC=90°，六邊形的面積的最大值是3；
（3）若∠ABC=120°，六邊形AEFCHG的面積關(guān)于折痕的長m的函數(shù)關(guān)系式是：S_AEFCHG=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$m²+m+$\sqrt{3}$（0$＜m＜2\sqrt{3}$）；
（4）若∠ABC的大小為2α（其中α是銳角），六邊形AEFCHG的周長是4+4sinα．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知△BEF和△DGH是等邊三角形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)題意可知四邊形BEPF和四邊形DGPH是正方形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求解；
（3）根據(jù)題意可知EF+GH=AC，再根據(jù)三角函數(shù)和菱的性質(zhì)即可求解；
（4）根據(jù)題意可知EF+GH=AC，再根據(jù)三角函數(shù)和菱形的性質(zhì)即可求解．

解答 解：（1）錯(cuò)；若∠ABC=60°，由題意可知△BEF和△DGH是等邊三角形，
∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6．
∴六邊形AEFCHG的周長為 6，六邊形AEFCHG的周長為6是定值，與折痕EF的長m無關(guān)；
（2）對；若∠ABC=90°，${S_{AEFCHG}}={S_{△BCD}}+{S_{AEPG}}=2+\frac{{\sqrt{2}m}}{2}（2-\frac{{\sqrt{2}m}}{2}）=-\frac{1}{2}{m^2}+\sqrt{2}m+2$S_AEFCHG最大值=$\frac{{4×（-\frac{1}{2}）×2-{{（\sqrt{2}）}^2}}}{{4×（-\frac{1}{2}）}}=3$；
（3）對；S_AEFCHG=S_△BCD+S_AEPG=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{2^2}$+$\frac{{\sqrt{3}m}}{3}（2-\frac{{\sqrt{3}m}}{3}）×\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$-\frac{{\sqrt{3}}}{6}{m^2}+m+\sqrt{3}$（0＜m＞2$\sqrt{3}$）；
（4）對；若∠ABC的大小為2α，由題意可知EF+GH=AC，則六邊形AEFCHG的周長可表示為2×2+2×sinα×2=4+4sinα．

點(diǎn)評 考查了翻折變換（折疊問題），菱形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是得到EF+GH=AC，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度