Question

14．如圖，二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的圖象交x軸于A、D兩點(diǎn)，并經(jīng)過B點(diǎn)，已知A點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)是（8，6）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)及D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）二次函數(shù)的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)C，使得△CBD的周長(zhǎng)最小？若C點(diǎn)存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若C點(diǎn)不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）只需運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）只需運(yùn)用配方法就可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，只需令y=0就可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）連接CA，由于BD是定值，使得△CBD的周長(zhǎng)最小，只需CD+CB最小，根據(jù)拋物線是軸對(duì)稱圖形可得CA=CD，只需CA+CB最小，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得：當(dāng)點(diǎn)A、C、B三點(diǎn)共線時(shí)，CA+CB最小，只需用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，就可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答 解：（1）把A（2，0），B（8，6）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×4+2b+c=0}\\{\frac{1}{2}×64+8b+c=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-4x+6；

（2）由y=$\frac{1}{2}$x²-4x+6=$\frac{1}{2}$（x-4）²-2，得
二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-2）．
令y=0，得$\frac{1}{2}$x²-4x+6=0，
解得：x₁=2，x₂=6，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，0）；

（3）二次函數(shù)的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)C，使得△CBD的周長(zhǎng)最�。�
連接CA，如圖，
∵點(diǎn)C在二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=4上，
∴x_C=4，CA=CD，
∴△CBD的周長(zhǎng)=CD+CB+BD=CA+CB+BD，
根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可得
當(dāng)點(diǎn)A、C、B三點(diǎn)共線時(shí)，CA+CB最小，
此時(shí)，由于BD是定值，因此△CBD的周長(zhǎng)最�。�
設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，
把A（2，0）、B（8，6）代入y=mx+n，得
$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=0}\\{8m+n=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=x-2．
當(dāng)x=4時(shí)，y=4-2=2，
∴當(dāng)二次函數(shù)的對(duì)稱軸上點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，2）時(shí)，△CBD的周長(zhǎng)最�。�

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線及直線的解析式、拋物線是軸對(duì)稱圖形、拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、兩點(diǎn)之間線段最短、解一元二次方程等知識(shí)，在解決問題的過程中，用到了配方法、待定系數(shù)法等重要的數(shù)學(xué)方法，而運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”則是解決第3小題的關(guān)鍵．