Question

2．如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸表示地平面，y軸表示海拔高度（單位長度為1千米）．某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)．圖示炮彈發(fā)射后的軌跡（曲線）方程：y=kx-$\frac{1}{20}$（1+k²）x²（k＞0），k與炮彈的射程有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（1）求炮彈的最大射程；
（2）設(shè)第一象限有個(gè)飛行物（忽略其大�。┑娘w行高度為3.2千米，則該飛行物的橫坐標(biāo)不超過多少千米時(shí)，炮彈能夠擊中它？

Answer 1

分析 （1）求炮的最大射程即求  y=kx-$\frac{1}{20}$（1+k²）x²（k＞0）與x軸的橫坐標(biāo)，求出后應(yīng)用基本不等式求解即可．
（2）求炮彈擊中目標(biāo)時(shí)的橫坐標(biāo)的最大值，由一元二次方程根的判別式求解即可．

解答 （1）解：根據(jù)題意得：$y=kx-\frac{1}{20}（1+{k^2}）{x^2}=0$，
即：$x=\frac{20k}{{1+{k^2}}}=\frac{20}{{k+\frac{1}{k}}}$，
∵${（\sqrt{k}-\frac{1}{{\sqrt{k}}}）^2}≥0$，
∴$k+\frac{1}{k}≥2$，
∴$x=\frac{20}{{k+\frac{1}{k}}}≤10$，
∴炮彈的最大射程是10千米．

（2）解：∵速度與炮彈的射程有關(guān)，炮彈能夠擊中目標(biāo)．∴k＞0，
根據(jù)題意的：$y=kx-\frac{1}{20}（1+{k^2}）{x^2}=3.2$，
整理得：x²k²-20xk+64+x²=0，
由△=（-20x）²-4x²（64+x²）≥0得：x≤6，
此時(shí)：$k=\frac{{20x+\sqrt{{{（-20x）}^2}-4{x^2}（{x^2}+64）}}}{{2{x^2}}}＞0$（不考慮另一根）
∴飛行物的橫坐標(biāo)不超過6千米時(shí)，炮彈能夠擊中它．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的運(yùn)用，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．