Question

16．如圖，在平面直角坐標系中，直線l與x軸交于點A（-1，0），與y軸交于點B（0，-2），點C是x軸上一點，且滿足CA=CB
（1）求直線l的解析式；
（2）求點C的坐標和△ABC的面積；
（3）過點C作y軸的平行線CH，借助△ABC的一邊構造與△ABC面積相等的三角形，第三個頂點P在直線CH上，求出符合條件的點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）設直線l的解析式為y=kx+b，把A、B兩點坐標代入，解方程組即可．
（2）線段AB的垂直平分線與x軸的交點即為點C，求出線段AB的中垂線的解析式即可解決問題．
（3）分兩種情形討論即可①過點A作AP₁∥BC交直線CH于P₁，此時△P₁BC與△ABC面積相等．②過點B作BP₂∥AC交直線CH于P₂，此時△P₂AC與△ABC的面積相等．分別求解即可．

解答 解：（1）設直線l的解析式為y=kx+b，把A、B兩點坐標代入得到$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直線l的解析式為y=-2x-2．

（2）∵CA=CB，
∴點C在線段AB的垂直平分線上，
設線段AB的中垂線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+b′，
∵線段AB的中點為（-$\frac{1}{2}$，-1），
∴-1=-$\frac{1}{4}$+b′，
∴b′=-$\frac{3}{4}$，
∴線段AB的中垂線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{4}$，
令y=0得到x=$\frac{3}{2}$，
∴點C坐標為（$\frac{3}{2}$，0），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（1+$\frac{3}{2}$）×2=$\frac{5}{2}$．

（3）如圖，

①過點A作AP₁∥BC交直線CH于P₁，此時△P₁BC與△ABC面積相等，
∵B（0，-2），C（$\frac{3}{2}$，0），
∴直線BC的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-2，
∴直線AP₁的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
∴x=$\frac{3}{2}$時，y=$\frac{10}{3}$
∴P₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{10}{3}$）．
②過點B作BP₂∥AC交直線CH于P₂，此時△P₂AC與△ABC的面積相等．
可得點P₂（$\frac{3}{2}$，-2），
③根據(jù)對稱性可得P₃（$\frac{3}{2}$，-$\frac{10}{3}$）或P₄（$\frac{3}{2}$，2）也符合題意．
綜上所述，滿足條件的點P坐標為（$\frac{3}{2}$，$\frac{10}{3}$）或（$\frac{3}{2}$，-2）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{10}{3}$）或（$\frac{3}{2}$，2）．

點評 本題考查一次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、線段的垂直平分線的性質、平行線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考�？碱}型．