Question

2．如圖1，將一副普通的三角板拼在一起放在一量角器上，將其抽象成幾何圖形如圖2所示，兩塊三角板拼成四邊形ABCD，量角器的圓心為AB的中點O，量角器與三角板的其他交點分別為點D，E，F．
（1）求證：△OED≌△OFA．
（2）四邊形OECF中是否能作出一個內切圓⊙M，使得⊙M與四邊形OECF的四邊都相切，如果能請找出⊙O的圓心點M的位置，如果不能說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據已知條件得到∠OAF=∠ODE，根據等腰三角形的性質得到∠AFO=∠FAO=∠OED=∠ODE，根據全等三角形的判定定理即可得到結論；
（2）如圖；連接OC；根據全等三角形的性質得到∠FCO=∠ECO，∠FOC=∠EOC，∠CFO=∠CEO；即OC平分∠FCE和∠FOE；作∠CFO的角平分線交OC于P，作∠CEO的角平分線交OC于Q；于是得到∠CFP=∠CEQ，根據全等三角形的性質得到CP=CQ，即P、Q重合；于是得到結論．

解答 解：（1）∵∠FAD=∠EDA，∠OAD=∠ODA，
∴∠OAF=∠ODE，
∵OA=OF，OD=OE，
∴∠AFO=∠FAO，∠OED=∠ODE，
∴∠AFO=∠FAO=∠OED=∠ODE，
在△OED與△OFA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAF=∠OED}\\{∠OFA=∠ODE}\\{OA=OE}\end{array}\right.$，
∴△OED≌△OFA；

（2）如圖；
四邊形OECF中，OF=OE，FC=CE；
連接OC；
則△COF≌△COE；
∴∠FCO=∠ECO，∠FOC=∠EOC，∠CFO=∠CEO；
即OC平分∠FCE和∠FOE；
作∠CFO的角平分線交OC于P，作∠CEO的角平分線交OC于Q；
∴∠CFP=∠CEQ，
在△CFP與△CEQ中$\left\{\begin{array}{l}{∠FCP=∠ECQ}\\{CF=CE}\\{∠CFP=∠CEQ}\end{array}\right.$，
∴△CFP≌△CEQ；
∴CP=CQ，即P、Q重合；
因此四邊形OECF的四個內角平分線相交于同一點，由角平分線的性質可知：這個交點到四邊形OECF的四邊距離都相等，因此四邊形OECF一定有內切圓．

點評 本題考查了三角形的內切圓與內心，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，正確的周長輔助線是解題的關鍵．